a) Ta có : 

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=169-25=144\)

\(\Leftrightarrow AC=12\left(cm\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2.+AC^2}{AB^2.AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{BC^2}{\left(AB.AC\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{\left(AB.AC\right)^2}{BC^2}=\dfrac{\left(5.12\right)^2}{13^2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{5.12}{13}=\dfrac{60}{13}\sim4,85\left(cm\right)\)

\(sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}\Rightarrow\widehat{B}\sim67^o\)

 a) ∆ABC vuông tại A (gt)

BC² = AB² + AC² (Pytago)A

⇒ AC² = BC² - AB²

= 13² - 5²

= 144

⇒ AC = 12 (cm)

Ta có:

AH.BC = AB.AC

⇒ AH = AB.AC : BC

= 5.12 : 13

= 60/13 (cm) ≈ 4,62 (cm)

sinB = AC/BC = 12/13

⇒ ∠B ≈ 67⁰

b) ∆AHB vuông tại H có HE là đường cao

⇒ HE² = AE . EB (1)

∆AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ HF² = AF . FC (2)

Tứ giác AEHF có:

∠AEH = ∠EAF = ∠AFH = 90⁰

⇒ AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

⇒ ∠EHF = 90⁰

∆EHF vuông tại H

⇒ EF² = HE² + HF²

⇒ AH² = HE² + HF²

Từ (1) và (2)

⇒ AE.EB + AF.FC = HE² + HF² = AH²

∆ABC vuông tại A vó AH là đường cao

⇒ AH² = HB.HC

⇒ AE.EB + AF.FC = HB.HC

⇒ AE.EB + AF.FC - HB.HC = 0

c) AH = EF đã chứng minh ở câu b

Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)

a, Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong các tam giác vuông

∆AHC và ∆AHB ta có:

AE.AC =  A H 2 = AD.AB => ∆AHC  ~ ∆AHB(c.g.c)

b. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ∆ABC tính được AH = 3cm => DE = 3cm

Trong ∆AHB vuông ta có:

tan A B C ^ = A H H B =>  A B C   ^ ≈ 56 0 , S A D E = 27 13 c m 2

a: ΔAHB vuông tại H 

mà HN là đường cao

nên AN*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H

mà HM là đường cao

nên AM*AC=AH^2

=>AN*AB=AM*AC

=>AN/AC=AM/AB

=>ΔANM đồng dạng với ΔACB

b: \(BH=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

\(CH=\sqrt{13^2-12^2}=5\left(cm\right)\)

=>BC=14cm

Lời giải:

a/ Tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông: $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AH=EF$

b/ $HF=AE$ (do $AEHF$ là hcn) 

Xét tam giác $AEH$ và $AHB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^0$

$\Rightarrow \triangle AEH\sim \triangle AHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AE=\frac{AH^2}{AB}=\frac{AB^2-BH^2}{AB}=\frac{6^2-3,6^2}{6}=3,84$ (cm)

Hình vẽ: