Cứu 🥺

Chọn A

Gọi M là trung điểm AB là N là trung điểm BM

\(\Rightarrow CM\perp AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đều)

NH là đường trung bình tam giác BCM \(\Rightarrow NH||CM\Rightarrow NH\perp AB\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SNH\right)\) \(\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SNH\right)\) với SN là giao tuyến

Trong mp (SNH), từ H kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)

\(CM=\dfrac{AC\sqrt{3}}{2}=6a\) ; \(NH=\dfrac{1}{2}CM=3a\)

\(\widehat{SNH}=60^0\Rightarrow HK=NH.sin60^0=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BH\\BH\perp AC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BH\perp SC\) (1)

Lại có I là trực tâm SBC \(\Rightarrow BI\perp SC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(BIH\right)\Rightarrow SC\perp IH\) (3)

Gọi M là giao điểm AH và BC \(\Rightarrow\) M là trung điểm BC (do tam giác ABC đều)

Mà SBC cân tại S (dễ dàng chứng minh SB=SC bằng Pitago) \(\Rightarrow SM\) đồng thời là đường cao trong tam giác SBC hay \(I\in SM\)

\(\Rightarrow IH\in\left(SAM\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AH\perp BC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp IH\) (4)

(3); (4) \(\Rightarrow IH\perp\left(SBC\right)\)

b. 

\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\)

ABC đều nên H là trực tâm đồng thời là trọng tâm \(\Rightarrow\dfrac{MH}{AM}=\dfrac{1}{3}\) \(\Rightarrow MH=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(\Rightarrow IM=MH.cos\widehat{AMS}=MH.\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{a\sqrt{39}}{78}\)

\(V_{IHBC}=\dfrac{IM}{SM}.\dfrac{MH}{AM}.V_{SABC}=\dfrac{1}{117}.\dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{468}\)

Kiến thức áp dụng

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung nº được tính theo công thức:

Đáp án A.

Gọi cạnh đáy của khối chóp là x với

0 < x < 5 2 2 .  

Chiều cao của khối chóp là

h = 5 2 2 − x 2 2 − x 2 2 = 25 − 5 x 2 2 .

Vậy thể tích của khối chóp là

V = 1 3 . h . S = 1 3 . x 2 . 25 − 5 x 2 2 = 1 3 25 x 4 − 5 x 5 2 2 .

Xét hàm số f x = 25 x 4 − 5 x 5 2  trên 0 ; 5 2 2 ,

ta có  f ' x = 100 x 3 − 25 x 4 2 = 0 ⇔ x = 2 2 .

Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích là  V = 1 3 . f 2 2 2 = 4 10 3 .

Đáp án B