Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.
a) Chứng minh rằng tứ giác AGG’A’ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng AGC.A’G’C’ là hình lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành
Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình
Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’
=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành
b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :
Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)
⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).
c)
Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :
K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)
K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)
⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.
Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)
G ∈ C’K.
⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.
+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’
⇒ K là trung điểm AB’.
ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Thiết diện tạo bởi mp(AIJ) với hình lăng trụ đã cho là:
A. Tam giác cân
B. Hình thang
C. Hình bình hành
D. Tam giác vuông
Đáp án C
Xét tam giác A’B’C’:
Gọi N là trung điểm B’C’
J là trọng tâm A’B’C’
Xét tam giác ABC:
Gọi M là trung điểm BC
I là trọng tâm ABC
Từ (1), (2), ta có IJ // MN
Xét (AIJ) và (B’C’CB) có:
M là điểm chung
IJ // MN
⇒ giao tuyến của (AIJ) và (B’C’CB) là MN
⇒ thiết diện cần tìm là mặt phẳng (A’NMA)
Xét (A’NMA) có: A’A // MN và A’A = MN ( // = BB’)
A’NMA là hình hình hành
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là:
A. tam giác cân
B. tam giác vuông
C. hình thang
D. hình bình hành
Đáp án D
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC
Xét (AIJ) và (ABC) có: F ∈ AI ⇒ F ∈ (AIJ) ⇒ (AIJ) ∩ (ABC) = AF
Xét ( AIJ) và (B’C’CB) có : F là điểm chung
IJ // (B’C’CB) ( I; J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’)
⇒ giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng a đi qua F và song song IJ
a cắt B’C’ tại E
⇒ (AIJ) ∩ (B’C’CB) = EF
Xét ( AIJ) và (A’B’C’) có:
E là điểm chung
AF // (A’B’C’)
⇒ giao tuyến 2 mặt phẳng là đường thẳng b đi qua E và song song AF
⇒ (AIJ) ∩ (A’B’C’) = A’E
Xét A’EFA có: AA’ // EF ( // IJ)
A’E // AF
A’EFA là hình bình hành
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Chứng minh rằng AMC.A’M’C’ là hình lăng trụ.
Ta có M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C', BCC'B' là hình bình hành suy ra MM' // CC'.
Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA'//CC'.
Mặt phẳng ((AMC) //(A'M'C') nên AMC. AM'C' là hình lăng trụ.
Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a và có G, G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ (tham khảo hình vẽ).
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AGG') với hình lăng trụ đã cho là
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Hình vuông
D. Hình chữ nhật
Chọn D
Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Khi đó thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (AGG') là hình chữ nhật AMM'A’.
Mà A M ’ = a . s i n 60 0 = a 3 2 ≠ A A ’
Nên AMM’A’ không thể là hình vuông.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
A. (ABC)
B. (A’BC’)
C. (BB’C’)
D. (AA’C)
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC′, B′C′.
Suy ra (tính chất trọng tâm tam giác) nên IJ // MN (1).
Trong mặt phẳng (AA′ME) ta có
⇒ IK // ME
mà ME // BB′ nên IK // BB′ (2).
Từ (1) và (2) do (IJK) và (BB′C′) là hai mặt phẳng phân biệt
IJ; IK ∈ (IJK)
Nên IJ // (BB′C′), IK // (BB′C′)
Suy ra (IJK) // (BB′C′)
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
A. (BC’A)
B. (AA’B)
C. (BB’C)
D. (CC’A)
Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua tâm G.
a) Chứng minh tứ giác BPNC là hình bình hành.
b) Chứng minh các tam giác ABC, MNP bằng nhau.
c) Chứng minh các tam giác ABC, MNP có cùng trọng tâm
em cần gấp ạ
a: Xét tứ giác BPNC có
G là trung điểm của BN
G là trung điểm của PC
Do đó: BPNC là hình bình hành
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt A A ' → = a → , A B → = b → , A C → = c →
Vecto B ' C → bằng:
A. a → - b → - c →
B. c → - a → - b →
C. b → - a → - c →
D. a → + b → + c →
B ' C → = A C → - A B ' → = A C → - ( A A ' → + A B → ) = c → - a → - b →
Đáp án B