\(\overline{abcd}⋮9\)  (d là số nguyên tố)

\(\Rightarrow d\in\left\{3;5;7\right\}\)

mà \(\overline{abcd}\) là số chính phương

\(\Rightarrow d\in\left\{5\right\}\Rightarrow c\in\left\{2\right\}\)

\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{12;20;30;56;72\right\}\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d⋮9\\c+d=2+5=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{20;56\right\}\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}\in\left\{2025;5625\right\}\)

 Số chính phương có bốn chữ số. Số chính phương có bốn chữ số có thể là 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.

- Nếu tổng các chữ số là 9, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 18, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 27, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 36, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 45, thì số abcd
chia hết cho 9.

Ví dụ: Giả sử ta tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd
, biết rằng nó là một số chính phương, số abcd
chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.

- Ta tìm số chính phương có bốn chữ số: 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.

- Ta kiểm tra số abcd
chia hết cho 9. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, tổng các chữ số là 2 + 0 + 2 + 5 = 9, nên số 2025 chia hết cho 9.

- Ta kiểm tra d có phải là số nguyên tố. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, d = 5 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào từ 2 đến căn bậc hai của 5, nên d = 5 là số nguyên tố.

- Kết hợp các kết quả từ các bước trên, ta có số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2025.

A = \(\overline{abcd}\) 

+ vì A là một số chính phương nên \(d\) = 0; 1; 4; 5;6; 9

+ Vì \(d\) là số nguyên  tố nên \(d\) = 5

+ Vì A là số chính phương mà số chính phương có tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là: 2 ⇒ c =2

+ Vì A ⋮ 9 ⇒ a + b + c + d \(⋮\) 9 

⇔ a + b + 2 + 5 ⋮ 9 ⇒ a + b = 2; 11

a + b  = 2⇒ (a; b) =(1; 1); (2; 0) ⇒ \(\overline{abcd}\) = 1125; 2025

a + b = 11 ⇒(a;b) =(2;9); (3;8); (4; 7); (5; 6); (6;5); (7;4); (8; 3); (9;2)

⇒ \(\overline{abcd}\) = 2925; 3825; 4725; 5625; 6525; 7425; 8325; 9225

 Vì 2025 = 45²; 5625 = 75² vậy số thỏa mãn đề bài là: 2025 và 5625

- Chia hết cho 5 nên b phải là 0 hoặc 5 --> có 2 số là 3a60 hoặc 3a65

- Chia hết cho 9 nên a + 3 + 6 + b phải chia hết cho 9, ta có 2 trường hợp:

a + 9 chia hết cho 9 khi a = 0 hoặc a = 9 --> Có 2 số là 3060 hoặc 3960

a + 14 chia hết cho 9 khi a = 4 --> Có số 3465

Vậy có 3 số tìm được: 3060, 3960, 3465

a) \(\overline {12x02y} \) chia hết cho 2 và 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0.

=> y = 0

\(\overline {12x020} \) chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3.

Nên (1 + 2 + x + 0 + 2 + 0)\( \vdots \)3

=> (x + 5) \( \vdots \) 3 và \(0 \le x \le 9\)

=> x\( \in \) {1; 4; 7}

Vậy để \(\overline {12x02y} \) chia hết cho 2, 3 và cả 5 thì y = 0 và x \( \in \){1; 4; 7}.

b) \(\overline {413x2y} \) chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 5

=> y = 5

\(\overline {413x25} \)chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 9

Nên (4 + 1 + 3 + x + 2 + 5) \( \vdots \)9

=> (x + 15) \( \vdots \)9 và \(0 \le x \le 9\)

=> x = 3.

Vậy  \(\overline {413x2y} \) chia hết cho 5 và 9 mà không chia hết cho 2 thì x = 3 và y = 5.

Những số chia cho 5 dư 2 là số 2 hoặc 7 ma số đó chia hết cho 2 nên b sẽ là 2

Thay vào ta có: 2a72

Số trên là số chia hết cho 9 mà 2+7+2=11. 11 phải cộng với 7 nữa mới chia hết

Vậy số đó là 2727

chia 5 dư 2 có chữ số tận cùng bằng 7 hoặc 2

chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng là 2=>b=2

chi hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết cho 9=>(2+a+7+2)chia hết cho 9=>a=7

vậy số cần tìm là 2772

Cho số tự nhiên 5a3b, biết số đó chia cho 2 dư 1 nhưng chia hết cho cả 5 và 9.

Số cần tìm là 

2. 12a4b chia hết cho 2 => b\(\in\){0;2;4;6;8}. Mà 12a4b chia hết cho5 => b=0

Ta được: 12a4b=12a40 . 12a40 chia hết cho 3 => 1+2+a+4+0 chia hết cho 3  => 7+a chia hết cho 3

Mà a là chữ số => a\(\in\){2;5;8}

Vậy 12a4b=12240 khi a=2, b=0

       12a4b=12540 khi a=5, __

       12a4b=12840 khi a=8, __

a) Để \(\overline{163a}\) chia hết cho 5 thì \(a\in\left\{0;5\right\}\)

Mà số đó lại chia hết cho 3 nên: \(1+6+3+a=10+a\) ⋮ 3

Với a = 0 thì 10 + 0 = 10 không chia hết cho 3 (loại)

Với a = 5 thì 10 + 5 = 15 ⋮ 3 (nhận)

Vậy a = 5  

b) Để \(\overline{712a4b}\) chia hết cho 2 và 5 thì \(b=0\)

Số đó có dạng \(\overline{712a40}\) 

Mà số đó lại chia hết cho 3 và 9 nên: \(7+1+2+a+4+0=14+a\) ⋮ 9

 \(14+a=18\Rightarrow a=4\)

Vậy (a;b) = (4;0) 

Số có 4 chữ số có dạng: \(\overline{abcd}\)

Vì số đó chia hết cho 5 nên \(d\) = 0; 5

Vì đó là số lẻ nên \(d\) = 5

Tổng các chữ số còn lại là: 19 - 5 = 14

Để được số lớn nhất thì chữ số hàng càng cao phải càng lớn

Từ lập luận trên ta chọn \(a\) là 9 

Tổng các chữ số còn lại là: 14 - 9 = 5

chọn \(b\) là \(5\) thì \(c\) = 5 - 5 = 0

Thay \(a=\) 9;     \(b\) = 5;   \(c\) = 0;   \(d\) = 5 vào biểu thức \(\overline{abcd}\) ta được

                     \(\overline{abcd}\)  = 9505

Vậy số lẻ lớn nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 19 và chia hết cho 5 là 9505   

b, Số có 4 chữ số có dạng: \(\overline{abcd}\) 

Vì số đó chia hết cho 5 nên \(d\) = 0; 5

vì đó là số chẵn nên \(d\) = 0

Tổng các chữ số còn lại là 19 - 0 = 19

Để được số lớn nhất thì chữ số hàng càng cao phải càng lớn

Từ lập luận trên ta chọn \(a\) = 9

Tổng các chữ số còn lại là: 19 -  9 = 10

Chọn \(b\) = 9 thì c = 10 - 9 = 1

Thay \(a=9\);  \(b\) = 9;  \(c\) = 1; \(d\) = 0 vào biểu thức: \(\overline{abcd}\) ta có:

\(\overline{abcd}\) = 9910

Vậy số chãn lớn nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 19 và chia hết cho 5 là : 9910

Đáp số a, 9505

            b, 9910

a, 1495

b, 9910

5, 87ab=8784