Cho a,b,c là các số dương thoả mãn √ a + √ b + √ c = √ 2022
Chứng minh rằng nếu a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c = 3 thì ab+a 3b2+10b+3 + bc+b 3c2+10c+3 + ca+c 3a2+10a+3 ≥
3 8
Xét a,b là các số thực thỏa mãn:
1. a3 + a = 3 và b3 + b = 3. Chứng minh rằng a=b.
2. a3+ 3a2+ 4a - 2 =0 và b3- 3b2 + 4b - 7 =0. Tính a + b ?
10:591. b3+b= 3
(b3+b)=3
b.(3+1)=3
b. 4= 3
b=\(\dfrac{3}{4}\)
a3+a= 3 b3
(a3+a)=3
a.(3+1)=3
a. 4= 3
a=\(\dfrac{3}{4}\)
2
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=3 và \(M=\sqrt{a^2+2ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=3 và \(M=\sqrt{a^2+2ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\). CMR: \(M\ge3\sqrt{5}\)
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
cho ba số a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 tính giá trị P=2bc/a^2+2bc+2ca/b^2+2ca+2ab/c^2+2ab
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
-Ta có hằng đẳng thức: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(P=\dfrac{2bc}{a^2}+\dfrac{2ca}{b^2}+\dfrac{2ab}{c^2}+2bc+2ca+2ab\)
\(=\dfrac{2bc}{a^2}+\dfrac{2ca}{b^2}+\dfrac{2ab}{c^2}=\dfrac{2\left(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3\right)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{2.\left(ab+bc+ca\right)\left(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-ab^2c-abc^2-a^2bc\right)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{2.0.\left(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-ab^2c-abc^2-a^2bc\right)}{a^2b^2c^2}=0\)
1) Chứng minh BDT sau với a,b > 0:
\(\frac{a^n}{x}+\frac{b^n}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
2) Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=2019
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
Ta có:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Áp dụng:
\(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)
\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)
\(=a+b+c=2019\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=673
Giá trị tuyệt đối A= | x - 2 | + | x - 5|
Ủa sao câu 1 bậc của vế trái lại khác bậc vế phải?
Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn điều kiện a.b.c = 1
Chứng minh rằng :\(\dfrac{1}{3+a^2+2ab}+\dfrac{1}{3+b^2+2bc}+\dfrac{1}{3+c^2+2ca}\) bé hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{2}\)
Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Tìm GTNN của \(\sqrt{a^2+2ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\)
\(\sqrt{a^2+2ab+2b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(4+1\right)\left[\left(a+b\right)^2+b^2\right]}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2a+2b+b\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2a+3b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{b^2+2bc+2c^2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2b+3c\right)\)
\(\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2c+3a\right)\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(5a+5b+5c\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)