a) Khi \(m=1\) thì pt đã cho trở thành \(x^2-2x-10=0\) (*)

pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-10\right)=11>0\) 

Do đó (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{11}}{1}=1+\sqrt{11}\\x_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{11}}{1}=1-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

b) Xét pt đã cho \(x^2-mx-10=0\) \(\left(a=1;b=-m;c=-10\right)\)

Nhận thấy \(ac=1\left(-10\right)=-10< 0\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\dfrac{-10}{1}=-10\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=29\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\Leftrightarrow m^2-2\left(-10\right)=29\)\(\Leftrightarrow m^2+20=29\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn đề bài thì \(m=\pm3\)

Để  phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt

=> \(\Delta,>0\)  <=> \(\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(-2m+5\right)>0\)

<=>\(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)

=> Theo hệ thức Vi ét ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\circledast\\x_1.x_2=-2m+5\circledast\circledast\end{matrix}\right.\)   

Theo bài ra ta có 

\(x_1-x_2=-2\circledcirc\)

Từ \(\circledast vaf\circledcirc\) ta có hệ pt 

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-2\\x1-x2=-2\end{matrix}\right.\)  <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x1=m-2\\x2=m\end{matrix}\right.\)

Thay x1 và x2 vào \(\circledast\circledast\)ta dc

\(\left(m-2\right)m=-2m+5\)

<=> m=\(\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{5}\\\sqrt{5}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy ...

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+1\right)\)

                      \(=\left(4m^2+4m+1\right)-4m^2-4\)

                      \(=4m-3\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4m-3>0\Leftrightarrow4m>3\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\)

Theo Vi ét, ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+1\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_1^2\right)+\left(2x_1+2x_2\right)+2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-2\left(m^2+1\right)+2\left(2m+1\right)-11=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-2m^2-2+4m+2-11=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2+8m-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\left(tm\right)\\m=-5\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 1 thì thỏa mãn đề bài.

∆ = [-(2m + 1)]² - 4.1.(m² + 1)

= 4m² + 4m + 1 - 4m² - 4

= 4m - 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0

⇔ 4m - 3 > 0

⇔ m > 3/4

Theo Viét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 1

x₁x₂ = m² + 1

Ta có:

(x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² = 13

⇔ x₁² + 2x₁ + 1 + x₂² + 2x₂ + 1 = 13

⇔ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 2 = 13

⇔ (2m + 1)² - 2(m² + 1) + 2(2m + 1) + 2 = 13

⇔ 4m² + 4m + 1 - 2m² - 2 + 4m + 2 + 2 - 13 = 0

⇔ 2m² + 8m - 10 = 0

Phương trình có hai nghiệm:

m = 1 (nhận)

m = -5 (loại)

Vậy m = 1 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² = 13

Δ=(2m+1)^2-4(m^2+1)

=4m^2+4m+1-4m^2-4=4m-3

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m-3>0

=>m>3/4

(x1+1)^2+(x2+1)^2=13

=>x1^2+x2^2+2(x1+x2)+2=13

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2(x1+x2)=11

=>(2m+1)^2-2(m^2+1)+2(2m+1)=11

=>4m^2+4m+1-2m^2-2+4m+2=11

=>4m^2+6m-10=0

=>m=1 hoặc m=-5/2(loại)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-2.1.\left(m-1\right)\\ =m^2-2m+1\\ =\left(m-1\right)^2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\(\Leftrightarrow\Delta>0\\ \Rightarrow\left(m-1\right)^2>0\\ \Rightarrow m\ne1\)

Theo vi ét : 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x^2_2=x_1+x_2\\ \Leftrightarrow x^2_1+x^2_2=m\\ \Leftrightarrow\left(x^2_1+2x_1x_2+x_2^2\right)-2x_1x_2=m\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-m=0\\ \Leftrightarrow m^2-2\left(m-1\right)-m=0\\ \Leftrightarrow m^2-2m+2-m=0\\ \Leftrightarrow m^2-3m+2=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=2\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=2\)

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)

Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(x_1^3+x_2^3=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)

\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn

Δ=(2m)^2-4(m^2+2m+3)

=4m^2-4m^2-8m-12=-8m-12

Để PT có 2 nghiệm pb thì -8m-12>0

=>-8m>12

=>m<-3/2

x1^3+x2^3=108

=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=108

=>(-2m)^3-3(m^2+2m+3)*(-2m)=108

=>-8m^3+6m(m^2+2m+3)=108

=>-8m^3+6m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^2(m-6)+18(m-6)=0

=>(m-6)(-2m^2+18)=0

=>m=-3

Δ=(-2)^2-4(m-1)

=-4m+4+4

=-4m+8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

x1^2+x2^2-3x1x2=2m^2+|m-3|

=>2m^2+|m-3|=(x1+x2)^2-5x1x2=2^2-5(m-1)=4-5m+5=-5m+9

TH1: m>=3

=>2m^2+m-3+5m-9=0

=>2m^2+6m-12=0

=>m^2+3m-6=0

=>\(m\in\varnothing\)

TH2: m<3

=>2m^2+3-m+5m-9=0

=>2m^2+4m-6=0

=>m^2+2m-3=0

=>(m+3)(m-1)=0

=>m=1 hoặc m=-3