A=(x+y)³ - 3xy(x+y)+3x²y²

=8-6xy+3x²y²

=3(x²y²-2xy+1)+5

=3(xy+1)²+5 ≥5

dấu = xảy ra ⇔ xy=1 ⇒ x=y=1

a: =3x^2y^3-2x^3y^2-2xy^4+3x^3y^2+3x^2y^3+5x^4y-5x^3y^2

=6x^2y^3-4x^3y^2-2xy^4+5x^4y

Bậc là 5

b: =x^4-y^4-3x^2y^2-3xy^3+5x^2y^2+x^3y-x^2y^2

=x^4-y^4+x^2y^2-3xy^3+x^3y

Bậc là 4

c: =3x^3y+3x^2y^2-7x^3y+7xy^3-3xy^2+2x^2y^2+5xy+x

=-4x^3y+5x^2y^2+7xy^3-3xy^2+5xy+x

bậc là 4

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

\(M=2x^4+2x^2y^2+x^2y^2+y^4+y^2\)

\(=\left(x^2+y^2\right)\left(2x^2+y^2\right)+y^2\)

\(=2x^2+2y^2=2\)

\(=2x^4+2x^2y^2+x^2y^2+y^4+y^2\\ =2x^2\left(x^2+y^2\right)+y^2\left(x^2+y^2\right)+y^2\\ =2x^2.1+y^2+y^2=2\left(x^2+y^2\right)=2.1=2\)

Đáp án A.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện là 235.

`M = 2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2`

`M = 2x^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 + y^4 + y^2`

`M = 2x^2( x^2 + y^2 ) + ( x^2 + y^2 )y^2 + y^2`

Thay `x^2+y^2=1` vào `M` ta có `:`

`M = 2x^2 . 1 + y^2 . 1 + y^2`

`M = 2x^2 + 2y^2`

`M = 2( x^2 + y^2 )`

`M = 2.1`

`M=2` 

Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)

\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)