a: góc AKB=góc AHB=90 độ

=>AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=>Tâm là trung điểm của AB

b: Gọi giao của AH và BK là M

ABHK là tứ giác nội tiếp

=>góc AHK=góc ABK

=>góc AHK=góc ADE

=>HK//DE

a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔADB vuông tại D có

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC đồng dạng với ΔADB

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

Xét ΔABC có

CE,BD là đường cao

CE cắt BD tại H

DO đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác AEHD có

\(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}\)

=>\(\widehat{EDB}=\widehat{BAH}=90^0-\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Xét tứ giác HDCM có

\(\widehat{HDC}+\widehat{HMC}=90^0+90^0=180^0\)

=>HDCM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HDM}=\widehat{HCM}\)

=>\(\widehat{MDB}=\widehat{ECB}=90^0-\widehat{ABC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{EDB}=\widehat{MDB}\)

=>DB là phân giác của \(\widehat{EDM}\)

a: Xét tứ giác MNBD có

\(\widehat{BDM}+\widehat{BNM}=90^0+90^0=180^0\)

=>MNBD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{NBD}+\widehat{NMD}=180^0\)

mà \(\widehat{NBD}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{NMD}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NMD}=\widehat{AMC}\)

=>\(\widehat{NMA}=\widehat{CMA}\)

=>MA là phân giác của góc NMC

b: Ta có: NBDM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DBM}=\widehat{DNM}\)

=>\(\widehat{MBC}=\widehat{ENM}\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\widehat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{ENM}=\widehat{MAC}\)

=>\(\widehat{ENM}=\widehat{EAM}\)

=>ANME là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AEM}+\widehat{ANM}=180^0\)

=>\(\widehat{AEM}=90^0\)

=>ME\(\perp\)AC

a/ cm tứ giác ABKH nội tiếp đường tròn và xđ tâm của đường tròn đó :

Trong tứ giác ABHK có : góc AKB = góc AHB = 90 độ 

                                   và cùng nhìn cạnh AB => tứ giác ABHK nội tiếp 

=> Tâm của đường tròn này nằm trên trung điểm của cạnh AB

b/ cm HK // DE:

Có : góc BED = góc BAD ( cùng chắn cung BD)

mà góc BAD = góc BKH ( tú giác ABHK nội tiếp)

=> góc BKH = góc BED mà ở vị trí đồng vị => HK // DE

 a) Ta có:

OB = OC (bán kính)

⇒ O nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao (gt)

⇒ AH cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AH là đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra O ∈ AH

⇒ O ∈ AD

Vậy AD là đường kính của (O)

b) Sửa đề: Tính độ dài các đường cao AH, BK của ∆ABC

Do AH là đường trung trực của BC (cmt)

⇒ H là trung điểm của BC

⇒ CH = BC : 2

= 12 : 2

= 6 (cm)

∆AHC vuông tại H

⇒ AC² = AH² + CH² (Pytago)

⇒ AH² = AC² - CH²

= 10² - 6²

= 64

⇒ AH = 8 (cm)

⇒ sinACH = AH/AC

= 4/5

⇒ ACH ≈ 53⁰

⇒ BCK ≈ 53⁰

∆BCK vuông tại K

⇒ sinBCK = BK/BC

⇒ BK = BC.sinBCK

= 10.sin53⁰

≈ 8 (cm)