Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

`a,`

Xét `2 \Delta` vuông `AHD` và ` AED`:

\(\text{AD chung}\)

\(\text{AH = AE (gt)}\)

`=> \Delta AHD = \Delta AED (ch-cgv)`

`b,`

Vì `\Delta AHD = \Delta AED (a)`

`->`\(\text{DH = DE (2 cạnh tương ứng) (1)}\)

\(\text{Xét }\Delta\text{DEC :}\)

\(\widehat{\text{DEC}}=90^0\)

`@` Theo định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

`->`\(\text{DC là cạnh lớn nhất}\)

`->`\(\text{DC > DE (2)}\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

`->`\(\text{DC > DH.}\)

`c,` cho mình bỏ câu này;-;;; xin lỗi cậu nhiều;-;.

Sửa đề: Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, cắt GF tại I

a: Xét tứ giác AEGF có

\(\widehat{AEG}=\widehat{AFG}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEGF là hình chữ nhật

b: AEGF là hình chữ nhật

=>GF//AE và GF=AE

Ta có: GF//AE

I\(\in\)FG

Do đó: FI//AE

Ta có: FI//AE

E\(\in\)AB

Do đó: FI//EB

Xét tứ giác FIEB có

FI//EB

FB//EI

Do đó: FIEB là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

GE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

=>EA=EB(1)

Xét ΔABC có

G là trung điểm của BC

GF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

AEGF là hình chữ nhật

=>AE=GF(2)

FIEB là hình bình hành

=>FI=EB(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra FI=FG

=>F là trung điểm của GI

Xét tứ giác AGCI có

F là trung điểm chung của AC và GI

nên AGCI là hình bình hành

Hình bình hành AGCI có AC\(\perp\)GI

nên AGCI là hình thoi

a: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEDF là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AEDF có AD là phân giác của góc FAE

nên AEDF là hình vuông

b: AEDF là hình vuông

=>\(\widehat{AEF}=45^0\)

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=45^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên FE//BC

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BD=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=BK\cdot BD\)

=>\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

Xét ΔBHK và ΔBDC có

\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK đồng dạng với ΔBDC

a) Xét \(\Delta CEF\)và \(\Delta CAB\)có:

\(\widehat{CFE}=\widehat{CBA}\left(=90^0\right)\).

\(\widehat{BCA}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta CEF~\Delta CAB\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh).

b) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta FBK\)có:

\(\widehat{KBC}\)chung.

\(\widehat{BAC}=\widehat{BFK}\left(=90^0\right)\).

\(\Rightarrow\Delta ABC~\Delta FBK\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BF}=\frac{BC}{BK}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow BA.BK=BF.BC\)(điều phải chứng minh).

c) Ta có: \(\frac{BA}{BF}=\frac{BC}{BK}\)(theo câu a)).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BK}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

Xét \(\Delta BAF\)và \(\Delta BCK\)có:

\(\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BK}\)(chứng minh trên).

\(\widehat{KBC}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta BAF~\Delta BCK\left(c.g.c\right)\).

\(\Rightarrow\widehat{BAF}=\widehat{BCK}\)(2 góc tương ứng) (điều phải chứng minh).

a: 

b:

Ta có: CE\(\perp\)CA

AB\(\perp\)CA

Do đó: CE//AB

Xét ΔCEB và ΔABE có

CE=AB

\(\widehat{CEB}=\widehat{ABE}\)(hai góc so le trong, AB//CE)

BE chung

Do đó: ΔCEB=ΔABE

=>CB=AE

Ta có: ΔCEB=ΔABE

=>\(\widehat{CBE}=\widehat{AEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên CB//AE

c: MI//CE

CE//AB

Do đó: MI//AB

Ta có: MI//AB

AB\(\perp\)AC

Do đó: MI\(\perp\)AC

Xét ΔMAC có

MI là đường cao

MI là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAC cân tại M

Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MI là đường cao

nên MI là phân giác của \(\widehat{AMC}\)

d: Ta có: \(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{MCA}+\widehat{MBA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)(ΔAMC cân tại M)

nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

=>ΔMAB cân tại M

Xét ΔMAB cân tại M có \(\widehat{MBA}=60^0\)

nên ΔMAB đều

=>\(\widehat{BAM}=60^0\)

e: Xét ΔECI vuông tại C và ΔBAI vuông tại A có

EC=BA

CI=AI

Do đó:ΔECI=ΔBAI

=>\(\widehat{EIC}=\widehat{BIA}\)

mà \(\widehat{EIC}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EIA}+\widehat{BIA}=180^0\)

=>B,I,E thẳng hàng