\(HC-HB=9\Rightarrow HC=HB+9\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AH^2=HB.HC\Leftrightarrow6^2=HB\left(HB+9\right)\)

\(\Leftrightarrow HB^2+9HB-36=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}HB=3\\HB=-12\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow HC=HB+9=12\)

Ta có: HC-HB=9

nên HC=9+HB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB^2+9HB-36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(HB+12\right)\left(HB-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow HB=3\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=12\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=7,2\left(cm\right)\\BH=5.4\left(cm\right)\\CH=9.6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng HTL: \(AH^2=BH\cdot HC\Rightarrow BH=\dfrac{AH^2}{HC}=\dfrac{12^2}{16}=9\left(cm\right)\)

Áp dụng PTG: \(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=20\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\cos C=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\)

\(HB=144:16=9\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{16\cdot25}=4\cdot5=20\left(cm\right)\)

\(\cos C=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\)

\(\dfrac{4}{5}\)

  theo hệ thức lượng tam giác vuông 
AC^2 = HC*BC = 16*BC (1) 
AH^2 = HC*BH = 16*BH (2) 
1/AH^2 = 1/AC^2 + 1/AB^2 (3) 
thay 1,2 vào 3: 
1/16*BH = 1/16*BC + 1/15^2 (4) 
mặt khác: 
BH = BC - HC = BC -16 
thay vào 4: 
1/16*(BC -16) = 1/16*BC + 1/225 
<=> 1/(BC - 16) - 1/BC = 16/225 
<=> (BC -BC +16)/((BC - 16)*BC) =16/225 
<=> BC^2 - 16*BC - 225 = 0 
=> BC = 25 (thỏa mãn) BC = -9 (loại) 
thay vào 1 ta có AC = 20 cm 
2 ta có AH = 12 cm 
Cố lên bạn nha!

Đặt HB=x(cm,x>0) => BC=HB+HC=x+16

Ta có: Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=>AB²=HB.BC

=>15²=x.(x+16)

=>225=x²+16x

=>x²+16x-225=0

=>x²+25x-9x-225=0

=>x.(x+25)-9.(x+25)=0

=>(x+25).(x-9)=0

=>x=-25(loại) hay x=9(nhận)

Vậy HB=9(cm)

Ta có: AH²=HB.HC(hệ thức lượng)

=>AH²=9.16=144

=AH=12(cm)

Ta có: AC²=HC.BC(hệ thức lượng)

=>AC²=16.25=400

=>AC=20(cm)

Ta có: BC=HB+HC=9+16=25(cm)

Gọi HB,HC lần lượt là a và b(a,b >0)

Có a -b =9 (cm) => b=a+9

Ta lại có : AH² = a(a+9)

6² = a² +9a

a² +9a - 36 = 0

a² +12a - 3a - 36 = 0

a(a+12) - 3(a+3) = 0

(a + 12)(a - 3) = 0    

Mà a > 0  => a=3

=> b = 9 +3 =12

Vậy : HB = 3cm

        HC = 12 cm

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

góc HBA=góc HAC

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

Suy ra: HB/HA=HA/HC

hay \(HA^2=HB\cdot HC\)