a,

Xét Δ AHB và Δ CAB, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CBA}\) (góc chung)

=> Δ AHB ∾ Δ CAB (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{HB}{AB}\)

=> \(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\)

Xét Δ AHB và Δ CHA, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o\)

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\) (cmt)

=> Δ AHB ∾ Δ CHA (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)

=> \(AH^2=HB.CH\)

b, Ta có : \(AH^2=BH.CH\) (cmt)

=> \(AH^2=4.9\)

=> \(AH^2=36\)

=> AH = 6

Xét Δ AHB, có :

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

=> \(AB^2=6^2+4^2\)

=> \(AB^2=52\)

=> AB = 7,2 (cm)

Xét Δ AHC, có :

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

=> \(AC^2=6^2+9^2\)

=> \(AC^2=117\)

=> AC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=> \(BC^2=7,2^2+10,8^2\)

=> \(BC^2=168,48\)

=> BC = 12,9 (cm)

Ta có : MC = \(\dfrac{1}{2}BC\) (M là trung điểm BC do có đường trung tuyến AM)

=> MC = 6,45 (cm)

Ta có : BC = BH + HM + MC

=> 12,9 = 4 + HM + 6,45

=> HM = 12,9 - 4 - 6,45

=> HM = 2,45 (cm)

Xét Δ AMH vuông tại H, có :

\(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}AH.HM\)

=> \(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}.6.2,45\)

=> \(S_{\Delta AMH}=7,35\left(cm\right)\)

BC = BH + CH = 13 (cm)

∆ABH ~ ∆CAH (g.g)

=> AH² = BH . CH = 36

=> AH = 6

BM = 1/2 BC = 6,5 (cm)

=> HM = 2,5 (cm)

Do đó S_(AHM) = 1/2 . 2,5 . 6 = 7,5 (cm²)

Đề thiếu! cho mỗi góc bẹt sao tính bạn

a, đồng dạng trường hợp góc - góc 

b, Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên ta có : 

AM = BM = CM = BC/2 = (BH + CH )/ 2 = 13/2 = 6,5 ( cm ) 

ta có : HM = BM - BH = 6,5 - 4 = 2,5 ( cm ) 

áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHM ta có : \(AH^2=AM^2-HM^2\Rightarrow AH=\sqrt{AM^2-HM^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}=6.\) (cm )

\(S_{AMH}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{6.2,5}{2}=7,5\left(cm^2\right)\)

Xét hai tam giác vuông HBA,HAC có:

∠ (BHA) =  ∠ (AHC) =  90 0

∠ B =  ∠ (HAC) (hai góc cùng phụ  ∠ C )

⇒ △ HBA đồng dạng △ HAC (g.g)

Suy ra: 

⇒ H A 2 = HB.HC = 4.9 = 36(cm)

Suy ra: AH = 6(cm)

Lại có: BM = 1/2 BC = 1/2 .(9+4) = 1/2 .13 = 6,5cm

Mà HM = BM – BH = 6,5 – 4 = 2,5cm

Vậy S A H M  = 1/2 AH.HN = 1/2 .6.2,5 = 7,5 c m 2

Đường trung tuyến AM đường cao AH mới đúng chứ bạn
 

Bạn viết cái gì vậy ko hiểu

nếu AH là đường cao, AM là đường trung tuyến mới đứng chứ!nếu vậy thì giải thế này:

a)Xét tam giác ABH và tam giác CBA

ta có góc BAC=góc AHB= 90 độ

        góc B chung

Suy ra tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA

b)vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA

GÓC BAH=GÓC ACB

xét tam giác AHB và tam giác CHA

ta có góc AHB=góc AHC=90 độ

        góc BAH=góc ACH

Suy ra tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA

AH/HC = BH/AH 

=> AH²=BH.CH

c)ta có BC=BH+CH=4+9=13

Mà AM =1/2BC=13. 1/2=6,5

ÁP dụng định lý PYTAGO vào tam giác AHM ta được:

AM²=AH²+HM²      =>HM²=AM²-AH²= 6,5²-6²=6.25

=>HM=2.5

Suy ra S_AHM=(AH.HM) / 2 =(6 . 2,5) / 2 =7,5

Ta có BH=4 ; CH=9 =>BC = 13

Vì AM là đường trung tuyến nên AM = MC = BC/2 = 6.5

Ta có HM = BC-( BH + MC ) = 2,5

lại có AM là đường trung tuyến nên AM = BC/2 = 6,5

Xét tam giác vuông AHM : AH^2 = AM^2 - HM^2

                                       =>. AH = 6

S tam giác AMH = 1/2.AH.HM = 7,5

──────▄▌▐▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▌
───▄▄██▌█ ░Xe chở 100000000 đến đây..
▄▄▄▌▐██▌█ ░░░░░░ ░░░░░░░░░ ░░░░░░░▐\.
███████▌█▄▄▄▄▄▄ ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ ▄▄▌ \.
▀❍▀▀▀▀▀▀▀❍❍▀▀▀▀ ▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀❍❍ ▀▀.

░░░░░░███████ ]▄▄▄▄▄▄▄▄▃
▂▄▅█████████▅▄▃▂
I███████████████████].
◥⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙◤…

                                Bằng chíu

a ,   Δ A B C ,   A ⏜ = 90 0 , A H ⊥ B C g t ⇒ A H = B H . C H = 4.9 = 6 c m Δ A B H ,   H ⏜ = 90 0   g t ⇒ tan B = A H B H = 6 4 ⇒ B ⏜ ≈ 56 , 3 0 b ,   Δ A B C ,   A ⏜ = 90 0 , M B = M C g t ⇒ A M = 1 2 B C = 1 2 .13 = 6 , 5 c m S Δ A H M = 1 2 M H . A H = 1 2 .2 , 5.6 = 7 , 5 c m 2

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$144=AH^2=BH.HC(1)$

$BH+CH=BC=25(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng định lý Viet đảo thì $BH, CH$ là nghiệm của pt: $x^2-25x+144=0$

$\Rightarrow BH, CH= (16,9)$

Mà $AB< AC$ nên $BH< CH$

$\Rightarrow BH=9; CH=16$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm) 

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$ (cm)

b. 

$AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}$ (cm) 

$\sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{AM}=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 74^0$

c. 

$HM=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ:

a: Đặt BH=x; CH=y(x<y)

Theo đề, ta có: xy=12^2=144 và x+y=48

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

x^2-48x+144=0

=>x=24-12 căn 3 hoặc x=24+12căn 3

=>BH=24-12căn 3 và CH=24+12căn 3

\(AB=\sqrt{\left(24-12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq12,42\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(24+12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq46,36\left(cm\right)\)

b: AM=BC/2=24cm

sin AMH=AH/AM=12/24=1/2

=>góc AMH=30 độ