Question

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM 

a/ Chứng minh AH2 = BH . CH 

b/ Tính diện tích tam giác AMH , biết BH = 4cm , CH = 9cm 

Answer 1

a,

Xét Δ AHB và Δ CAB, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CBA}\) (góc chung)

=> Δ AHB ∾ Δ CAB (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{HB}{AB}\)

=> \(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\)

Xét Δ AHB và Δ CHA, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o\)

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\) (cmt)

=> Δ AHB ∾ Δ CHA (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)

=> \(AH^2=HB.CH\)

 

Answer 2

b, Ta có : \(AH^2=BH.CH\) (cmt)

=> \(AH^2=4.9\)

=> \(AH^2=36\)

=> AH = 6

Xét Δ AHB, có :

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

=> \(AB^2=6^2+4^2\)

=> \(AB^2=52\)

=> AB = 7,2 (cm)

Xét Δ AHC, có :

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

=> \(AC^2=6^2+9^2\)

=> \(AC^2=117\)

=> AC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=> \(BC^2=7,2^2+10,8^2\)

=> \(BC^2=168,48\)

=> BC = 12,9 (cm)

Ta có : MC = \(\dfrac{1}{2}BC\) (M là trung điểm BC do có đường trung tuyến AM)

=> MC = 6,45 (cm)

Ta có : BC = BH + HM + MC

=> 12,9 = 4 + HM + 6,45

=> HM = 12,9 - 4 - 6,45

=> HM = 2,45 (cm)

Xét Δ AMH vuông tại H, có :

\(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}AH.HM\)

=> \(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}.6.2,45\)

=> \(S_{\Delta AMH}=7,35\left(cm\right)\)