dễ dàng chứng minh được BCD là tam giác vuông tại B

từ đó tính được BD

Có : S_BCD = 1/2.BD.BC= 1/2.8.6 = 24 

có : BA là đường trung tuyến của △BCD.

=> S_ABC = 1/2. S_BCD =1/2. 24 = 12

a, Ta có: DE//BC \(\Rightarrow\widehat{DEB}+\widehat{EBF}=180\)

mà góc EBF =90 => góc DEB =90    (1)

Chứng minh tương tự với DF//AB

\(\Rightarrow\widehat{EDF}=90;\widehat{BFD}=90\)   (2)

Từ (1) và (2) => tứ giác BEDF là hình chữ nhật

a) vì ED//BC và DF//AB

Mà \(\Delta ABC\)vuông tại B

Nên \(DE\perp AB\)và \(DF\perp BC\)

Xét tứ giác BEDF có:

\(\widehat{B}=\widehat{DEB}=\widehat{DFB}=90^0\)

 Vậy tứ giác BEDF là hình chữ nhật       

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Suy ra: ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

hay O là trung điểm của BC

\(R=\dfrac{BC}{2}\)

a: Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Suy ra: ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

hay O là trung điểm của BC

\(\Leftrightarrow R=\dfrac{BC}{2}\)

S_ABC = \(\frac{4\times6}{2}\) = 12 (cm²)

BH là đường cao của tam giác BAC cân tại B.

=> BH là đường trung tuyến của tam giác ABC.

=> H là trung điểm của AC.

=> AH = HC = AC/2 = 6/2 = 3 (cm)

Tam giác HBC vuông tại H có:

BC² = HB² + HC² (định lý Pytago)

= 4² + 3²

= 16 + 9

= 25

BC = \(\sqrt{25}\) = 5 (cm)

Tam giác HBC vuông tại H có HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của BC)

=> HI = BC/2 = 5/2 = 2,5 (cm)

I là trung điểm của BC (gt)

I là trung điểm của HD (H đối xứng D qua I)

=> BHCD là hình bình hành.

mà BHC = 90⁰

=> BHCD là hình chữ nhật.

=> BHCD là hình vuông

<=> BH = HC

<=> Tam giác BAC có đường trung tuyến BH bằng 1 nửa cạnh AC.

<=> Tam giác ABC vuông tại B.

mà tam giác BAC cân tại B.

=> Tam giác BAC vuông cân tại B.

Vậy BHCD là hình vuông khi tam giác BAC vuông cân tại B.

Bài 2:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên phân giác $AD$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AD\perp DC$. Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}:2 =45^0$ nên $\triangle DAC$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow DA=DC(1)$

$D,E$ đối xứng với nhau qua $AC$ nên $AC$ là trung trực của $DE$

$\Rightarrow CD=CE; AD=AE(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow AD=DC=CE=EA$

$\Rightarrow ADCE$ là hình thoi.

Mà $\widehat{ADC}=90^0$ nên $ADCE$ là hình vuông.

Hình bài 2:

Bài 3:
Xét tam giác $ABH$ và $ACK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0$
$\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle ACK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AC}{AK}$

Xét tam giác $AKH$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AKH\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{K_2}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{H_1}=\widehat{ABC}$

Xét tam giác $KEB$ và $CHB$ có:

$\widehat{KEB}=\widehat{CHB}=90^0$
$\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=\widehat{ACB}=\widehat{HCB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle KEB\sim \triangle CHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KE}{KB}=\frac{CH}{CB}(1)$
Tương tự: 

$\triangle CFH\sim \triangle CKB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \frac{CH}{FH}=\frac{CB}{KB}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{KE}{KB}.\frac{CH}{FH}=\frac{CH}{CB}.\frac{CB}{KB}$

$\Rightarrow \frac{KE}{HF}=1$
$\Rightarrow KE=HF$ (đpcm)

a: \(S_{ABC}=\dfrac{12\cdot10}{2}=60\left(cm^2\right)\)

b: Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm chung của AB và HE

góc AHB=90 độ

Do đó: AHBE là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác ABFC có

H là trung điểm chung của AF và BC

AB=AC

Do đo: ABFC là hình thoi