\(VT=3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2-x^2+2xy-y^2-y^2+2yz-z^2-z^2+2xz-x^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2\)* luôn đúng *

Vậ ta có đpcm 

\(x^2+y^2>=2xy\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}< =\frac{x}{2xy}=\frac{1}{2y}\)(1)

\(y^2+z^2>=2yz\Rightarrow\frac{y}{y^2+z^2}< =\frac{y}{2yz}=\frac{1}{2z}\)(2)

\(x^2+z^2>=2xz\Rightarrow\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}\)(3)

từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{y^2+z^2}+\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)(đpcm)

bài này phải x;y;z dương

(x+y+z)² = x² + y² + z² + 2(xy +yz +zx)

Sửa đề: (x+y)(x+y+2)-2(x+1)(y+1)+2-x^2-y^2

=(x+y)^2+2(x+y)-x^2-y^2-2(xy+x+y+1)+2

=2xy+2(x+y)-2xy-2x-2y-2+2

=2(x+y)-2(x+y)-2+2

=0

=>Đẳng thức được chứng minh

x²+y²z²>=2lxl.lyl.lzl nên VT>=6lxl.lyl.lzl>=6xyz

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được

\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.

Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:

Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)

đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*

BĐVT ta đc:\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-2\left(x-1\right)\left(y+1\right)+2\)

               \(=x^2+2xy+y^2+xz+yz-\left[\left(2x-1\right)\left(y+1\right)\right]\)

                   \(=x^2+2xy+y^2+xz+yz-\left(2xy+2x-y-1\right)\)

                   \(=x^2+y^2+2xy+xz+yz-2xy-2x+y+1\)

                Đề sai hả bn

mik phân tích đc như này:

x^2+xy+yx+y^2+xz+yz-(2x+2)(y+1)+2=x^2+y^2