a: \(\left(n+3\right)^2-n^2=\left(n+3+n\right)\left(n+3-n\right)\)

\(=3\left(2n+3\right)⋮3\)

b: Đặt A=\(\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=n^2-10n+25-n^2\)

\(=-10n+25=5\left(-2n+5\right)⋮5\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=-10n+25\)

\(-10n⋮2;25⋮̸2\)

=>-10n+25 không chia hết cho 2

=>A không chia hết cho 2

(n + 3)² - n² = n² + 6n + 9 - n²

= 6n + 9

= 3(3n + 3) ⋮ 3

Vậy [(n + 3)² - n²] ⋮ 3 với mọi n ∈ ℕ

--------

(n - 5)² - n² = n² - 10n + 25 - n²

= -10n + 25

= -5(2n - 5) ⋮ 5

Do -10n ⋮ 2

25 không chia hết cho 2

⇒ -10n + 25 không chia hết cho 2

Vậy [(n - 5)² - n²] ⋮ 5 và không chia hết cho 2 với mọi n ∈ ℕ

Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có \(v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1\).

Do đó \(2^{3^n}+1⋮3^{n+1}\) nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\).

Ta có : \(1^n+2^n+3^n+4^n=10^n\) chia hết cho 5

Cũng biết, 5 chia hết cho các số có tận cùng = 0;5 .

Mà \(10^n\)có số tận cùng là 0 (vd: 10⁵=100 000 ; 10⁶=10 00 000..v...v) và n không chia hết cho 4(\(n\in N\)) nên sẽ chia hết cho 5

Vậy \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5 .

+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ lẻ. k \(\in\)|N.

1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ đồng đư với 1ⁿ+2ⁿ+(-2)ⁿ+(-1)ⁿ (mod 5) hay 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ đồng đư với 1ⁿ+2ⁿ-2ⁿ-1ⁿ=0 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ chia hết cho 5.

+) Với n=4k+2, k\(\in\)|N.

1+2^4k+2+3^4k+2+4^4k+2=1+2².2^4k+3².3^4k+4².4^4k

                                  =1+4.16^k+9.81^k+16.256^k

                 đồng dư với : 1.1+4.1+9.1+16.1=30 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ chia hết cho 5.

+) Với n=4k, k\(\in\)|N.

1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ = 1+2^4k+3^4k+4^4k

                      = 1+16^k+81^k+16^k

       đồng dư với: 1+1+1+1=4 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ không chia hết cho 5.

=> ĐPCM

Nguyễn Triệu Yến Nhi đúng rồi

a) Ta xét các trường hợp:

+)  Với n = 3k  \(\left(k\in Z\right)\), ta có \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=\left(3k-1\right)\left(3k+2\right)+12\)

Ta thấy (3k - 1)(3k + 2) không chia hết cho 3, 12 chia hết cho 3 nên (3k - 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 3 hay (3k - 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 9.

+)  Với n = 3k + 1 \(\left(k\in Z\right)\), ta có \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=3k\left(3k+3\right)+12=9k\left(k+1\right)+12\)

Ta thấy \(9k\left(k+1\right)⋮9;12⋮̸9\Rightarrow9k\left(k+1\right)+12⋮̸9\)

+) Với n = 3k + 2 \(\left(k\in Z\right)\), ta có: \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=\left(3k+1\right)\left(3k+4\right)+12\)

Ta thấy (3k + 1)(3k + 4) không chia hết cho 3, 12 chia hết cho 3 nên (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 3 hay (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 9.

b) Tương tự bài trên.

A = 3 + 3² + ...... + 3⁶⁰

A = ( 3 + 3² ) + .....(3⁵⁹ + 3⁶⁰ )

A = ( 3 + 3² ) + ........+ 3⁵⁸ . ( 3 + 3² )

A = 12 + ....... + 3⁵⁸ . 12

A = 12 . ( 1+ ....... + 3⁵⁸ ) : 4 ( đpcm )

Nguyễn Hiền Minh mik la chu nick do ( nhug no bi mat vi quen luu ) nen mik cam on bn :V

làm ý b nha

\(A=n^2+n+1\left(n\in N\right)\\ A=n\cdot n+n\cdot1+1\\ A=n\cdot\left(n+1\right)+1\)

a) Ta có: \(n\cdot\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, sẽ có một trong hai số là số chẵn \(\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Mà \(1⋮̸2\) \(\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)+1⋮̸2\Leftrightarrow A⋮̸2\)

Vậy \(A⋮̸2\)

b)

Ta có: \(n\cdot\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận cùng là 0, 2, 6 \(\Rightarrow\) \(n\cdot\left(n+1\right)+1\) có chữ số tận cùng là 1, 3, 7 không chia hết chia 5

Vậy \(A⋮̸5\)

\(A=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\left(n\in N\right)\)

a) Vì n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp , mà trong 2 số tự nhiên liên tiếp sẽ có một số chẵn .

=> n(n+1) là số chẵn

=> n(n+1) + 1 là số lẻ

=> A không chia hết cho 2 ( đpcm )

b) Xét tận cùng của n có thể là 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

=> n+1 có thể có tận cùng là 1;2;3;4;5;6;7;8;9

=> n(n+1) có thể có tận cùng là 0;2;6

=> n(n+1)+1 có tận cùng là 1;3;7

Vậy A không chia hết cho 5 ( đpcm)

A=n.n+n.1+1

A=n.(n+1)+1(đây là bước nhân một tổng với 1 số của cấp 1)

a, Ta có:

n.(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( 1 chẵn và 1 lẻ ).

=> Ta được: n.(n+1)+1:2

Mà 1 lại không chia được cho 2.

Như vậy n.(n+1)+1 không chia hết cho 2=A không chia hết cho 2.

b,Ta có: n.(n+1) là tích của 2 số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0,2,6.

Sau khi cộng thêm 1 thì tích đó có các trường hợp chữ số tận cùng như sau :

-Cs cuối của tích là 0+1=1, sẽ không chia hết cho 5.

-Cs cuối của tích là 2+1=3, sẽ không chia hết cho 5.

-Cs cuối của tích là 6+1=7, không chia hết cho 5.

=> A không chia hết cho 5.

Ủng hộ mình nha