PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(k-2\right)^2-\left(-2k-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow k^2-4k+4+2k+10\ge0\\ \Leftrightarrow k^2-2k+14\ge0\\ \Leftrightarrow k\in R\)

Vậy PT luôn có 2 nghiệm

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k-2\right)\left(1\right)\\x_1x_2=-2k-5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có \(2x_1-x_2=7\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k-2\right)\\2x_1-x_2=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2k+3\\x_2=2x_1-7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2k+3}{2}\\x_2=\dfrac{4k+6}{2}-7=\dfrac{4k-8}{2}=2k-4\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left(2k+3\right)\left(2k-4\right)}{2}=-2k-5\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+3\right)\left(k-2\right)=-2k-5\\ \Leftrightarrow2k^2-k-6+2k+5=0\\ \Leftrightarrow2k^2+k-1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{1}{2}\\k=-1\end{matrix}\right.\)

Xét pt :

\(x^2-2\left(k+2\right)x+k^2+2k-7=0\)

\(\Delta'=\left(k+2\right)^2-\left(k^2+2k-7\right)\)

\(=k^2+4k+4-k^2-2k+7\)

\(=2k+11\)

Để phương trình có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow k>-\dfrac{11}{2}\)

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k+2\right)\\x_1.x_2=k^2+2k-7\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=3x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+2\right)^2=3\left(k^2+2k-7\right)+28\)

Tự giải hết pt tìm k nhé :> Buồn ngủ quá ~

a: Thay k=-3 vào pt, ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-3+2\right)x+\left(-3\right)^2+2\cdot\left(-3\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=5\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{5}-1;-\sqrt{5}-1\right\}\)

b: \(\text{Δ}=\left(2k+4\right)^2-4\left(k^2+2k-7\right)\)

\(=4k^2+16k+16-4k^2-8k+28\)

=8k+44

Để phương trình có hai nghiệm thì 8k+44>=0

=>8k>=-44

hay k>=-11/2

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=28\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+4\right)^2-3\cdot\left(k^2+2k-7\right)=28\)

\(\Leftrightarrow4k^2+16k+16-3k^2-6k+21=28\)

\(\Leftrightarrow k^2+10k+37-28=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(k+9\right)=0\)

=>k=-1

A, B thuộc (P), (d) ?

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=k\left(x-1\right)+2\Leftrightarrow x^2-kx+\left(k-2\right)=0\).

Ta có \(\Delta=k^2-4\left(k-2\right)=\left(k-2\right)^2+2>0\forall k\) nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=k-2\\x_1+x_2=k\end{matrix}\right.\).

Ta có \(x_1^2+y_1+x_2^2+y_2=14\)

\(\Leftrightarrow2x_1^2+2x_2^2=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow k^2-2\left(k-2\right)=7\Leftrightarrow k^2-2k-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=-1\\k=3\end{matrix}\right.\).

Vậy...

1) \(x^2-2mx+m-2=0\) (1) 

pt (1) có \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\left(\forall m\right)\) 

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ 

Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\frac{2m-4-2m}{\left(2m\right)^2-8m-16}\)

\(=\frac{-4}{4m^2-8m-16}=\frac{-4}{4\left(m-1\right)^2-20}\ge\frac{-4}{-20}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=1\)

xin 1slot sáng giải

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

7 x 2 (x – 7) + 5x(7 – x) = 0

ó 7x.x(x – 7) – 5.x(x – 7) = 0

ó (7x.x – 5.x)(x – 7) = 0

ó x(7x – 5)(x – 7) = 0

Giá trị lớn nhất của x thỏa mãn đề bài là x = 7.

Đáp án cần chọn là: B

Theo c) \(f\left(\frac{5}{7}\right)=f\left(\frac{2}{7}+\frac{3}{7}\right)=f\left(\frac{2}{7}\right)+f\left(\frac{3}{7}\right)\)

      \(f\left(\frac{2}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}\right)+f\left(\frac{1}{7}\right)=2.f\left(\frac{1}{7}\right)\) 

  \(f\left(\frac{3}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}\right)+f\left(\frac{2}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}\right)+2f\left(\frac{1}{7}\right)=3.f\left(\frac{1}{7}\right)\)

       \(\implies\)\(f\left(\frac{5}{7}\right)=5.f\left(\frac{1}{7}\right)\)          (1)

 Theo b) \(f\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{7^2}.f\left(7\right)\)          (2)

Theo c) \(f\left(7\right)=f\left(3+4\right)=f\left(3\right)+f\left(4\right)\)

                                                 \(=2.f\left(3\right)+f\left(1\right)\) 

                                                 \(=6.f\left(1\right)+f\left(1\right)\) 

                                                 \(=7.f\left(1\right)\)

Theo a)\(f\left(1\right)=1\)\(\implies\)\(f\left(7\right)=7\)      (3)

    Từ (1);(2);(3)

       \(\implies\)       \(f\left(\frac{5}{7}\right)=\frac{5}{7}\)

︵✰He❤lloღ