\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)

a) \(AH^2=HB.HC=50.8=400\)

\(\Rightarrow AH=20\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.20\left(50+8\right)=\dfrac{1}{2}.20.58\left(cm^2\right)\)

mà \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\)

\(\Rightarrow AB.AC=20.58=1160\)

Theo Pitago cho tam giác vuông ABC :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2-2AB.AC=BC^2\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2=BC^2+2AB.AC\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)^2=58^2+2.1160=5684\)

\(\Rightarrow AB+AC=\sqrt[]{5684}=2\sqrt[]{1421}\left(cm\right)\)

Chu vi Δ ABC :

\(AB+AC+BC=2\sqrt[]{1421}+58=2\left(\sqrt[]{1421}+29\right)\left(cm\right)\)

Xét ΔABh vuông tại H(gt)

=> \(AB^2=HB^2+HA^2\) (theo định lý pytago)

=>\(HB^2=AB^2-AH^2=7,5^2-6^2=20,25\)

=>\(HB=4,5\) cm

Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ta có:

       \(AB^2=BH\cdot BC\)

=> \(BC=\frac{AB^2}{HB}=\frac{7,5^2}{4,5}=12,5\) cm

Có: BC=HB+HC

=>HC=BC-HB=12,5-4,5=8 cm

Xét ΔABC vuông tại A(gt)

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\) (theo định lý pytago)

=>\(AC^2=BC^2-AB^2=12,5^2-7,5^2=100\)

=>AC=10

áp dụng các định lý bạn nhé

a. Xét  Δ HBA và  Δ ABC

     \(\widehat{H}\) = \(\widehat{A}\) = 90⁰ (gt)

      \(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\)  Δ HBA \(\sim\)  Δ ABC (g.g) (1)

 Xét  Δ HAC và  Δ ABC:

     \(\widehat{H}\) = \(\widehat{A}\) = 90⁰ (gt)

       \(\widehat{C}\) chung

\(\Rightarrow\)  Δ HAC \(\sim\)  Δ ABC (g.g) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) Δ HBA  \(\sim\)  Δ HAC 

b. Ta có:  Δ ABC vuông tại A

  Theo đ/lí Py - ta - go:

  BC² = AB² + AC² 

  BC² = 6² + 8²

\(\Rightarrow\) BC² = 100

\(\Rightarrow\) BC = \(\sqrt{100}\) = 10 cm

Ta có: Δ HBA  \(\sim\)  Δ ABC: 

   \(\dfrac{HA}{AC}\) = \(\dfrac{BA}{BC}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{HA}{8}\) = \(\dfrac{6}{10}\) 

\(\Rightarrow\) HA = 4,8 cm

 \(\dfrac{HB}{AB}\) = \(\dfrac{BA}{BC}\)  \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{HB}{6}\) = \(\dfrac{6}{10}\) 

\(\Rightarrow\) HB = 3,6 cm

Ta có:  Δ HAC \(\sim\)  Δ ABC

 \(\dfrac{HC}{AC}\) = \(\dfrac{AC}{BC}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{HC}{8}\) = \(\dfrac{8}{10}\) 

\(\Rightarrow\) HC = 6,4cm

c. Ta có: Δ HBA \(\sim\)  Δ HAC

  \(\dfrac{HA}{HB}\) = \(\dfrac{HC}{HA}\) 

AH² = HB . HC

Ta có : Δ HBA  \(\sim\)  Δ ABC 

    \(\dfrac{BA}{BC}\) = \(\dfrac{HB}{AB}\) 

\(\Rightarrow\) AB² = HB . BC

Giúp mik với. Cần gấp ạaaaaa

a: Xet ΔBAH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCHA đồng dạng với ΔCAB

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

AH=6*8/10=4,8cm

HB=6^2/10=3,6cm

HC=10-3,6=6,4cm

c: ΔABC vuông tại A

mà AH vuông góc BC

nên AH^2=HB*HC; AB^2=BH*BC

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)

\(BC=BH+HC=8\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=2\cdot8=16\left(cm\right)\\AC^2=2\cdot6=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AH^2=BH.HC\Rightarrow AH=\sqrt{BH.HC}=\sqrt{2.6}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng đ/lý Pytago trong tam giác vg ABH và AHC

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=AH^2+HB^2=16\\AC^2=AH^2+HC^2=48\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4cm\\AC=4\sqrt{3}cm\end{matrix}\right.\)

Ta có: BC = BH + HC = 2 + 6 = 8 (cm)

Xét △ ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AH^2=HB.HC\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

\(AH^2=2.6\) 

\(AH=2\sqrt{3}\) ( do \(AH>0\) ) 

Xét △ ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AB^2=BH.BC\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

\(AB^2=2.8\)

AB = 4 ( do AB > 0 )

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:

\(AC^2=CH.BC\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

\(AC^2=6.8\)

AC = \(4\sqrt{3}\) ( do AB > 0 )

Vậy AH = \(2\sqrt{3}\)

       AB = 4

        AC= \(4\sqrt{3}\)

Chúc cậu học tốt!!!