\(\sqrt{x\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( Cauchy)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\le\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\le\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\le\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng theo vế suy ra đocn. Dấu "=" ko xảy ra

Dùng Bđt Cauchy: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Chơi tổng quát luôn tìm GTNN &LN \(P=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) với mọi x,y khác không

đặt x/y=t => y/x=1/t

\(P=t+\frac{1}{t}=\frac{t^2+1}{t}\Leftrightarrow t^2-pt+1=0\) (1)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2+pt+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}-1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2-4}{4}\)

VT là bình phương => để tồn tại (t) VP >=0

\(\Leftrightarrow\frac{p^2-4}{4}\ge0\Leftrightarrow p^2-4\ge0\Leftrightarrow p^2\ge4\Rightarrow!p!\ge2\Rightarrow\left[\begin{matrix}P\le-2\\P\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

a. \(\)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(\frac{xy}{z}\) và \(\frac{yz}{x}\), ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\) (1)

Hoàn toàn tương tự: \(\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\) và \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{2x}{2\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{z+x}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\) ; \(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" không xảy ra

\(VT=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

\(=2+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)

Bài toán trở thành \(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge\frac{x+y+z}{3\sqrt{xyz}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xyz}}=\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự:

\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\ge\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{x}\ge\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT+3\ge3+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Is it true?

\(\frac{1}{1+x}\ge1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}}\) ; \(\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}< 8\) (đpcm)

Chắc bạn ghi sai đề bài :)

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge2x^3\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{y^3}{\sqrt{y^2\left(1-y^2\right)}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{z^3}{\sqrt{z^2\left(1-z^2\right)}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

bạn xem lại đề xem, mình làm thấy dấu ''='' không xảy ra

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2x^3}{2x\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)

Tương tự: \(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT sai, vế trái lớn hơn vế phải 1 cách tuyệt đối.

BĐT đúng là: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>2\)

@Nguyễn Việt Lâm

Đặt biểu thức trên là A

\(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\)

\(=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}+2xy\ge2\sqrt{\left(x-y\right)^2\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2xy\)

\(=2\sqrt{\left(xy-1\right)^2}+2xy\)

\(=2\left|xy-1\right|+2xy\)

Áp dụng bđt Cô si 

- Nếu thấy \(xy\ge1\Rightarrow A\ge2xy-2+2xy=4xy-2\ge2\)

- Nếu \(xy< 1\Rightarrow A>-2xy+2+2xy=2\)

Vậy : \(A\ge2\left(đpcm\right)\)

Ta có:Xét hiệu \(x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2-2=\left(x-y\right)^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2+2\left(xy-1\right)\ge0\)

\(=\left(x-y+\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge2\left(đpcm\right)\)