Cho tam giác ABC nhọn có diện tích bằng 1. Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF. Cmr :
a) Diện tích AEF + diện tích BFD + diện tích CDE bằng Cos a^2 + cos b^2 + cos c^2
b) diện tích DEF bằng sin a ^2 - cos b^2 -cos c^2
Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD,BE,CF . Chứng minh rằng :
a) SAEF + SBFD + SCDE = cos2A+cos2B+cos2C
b) SDEF = sin2A-cos2 B -cos2C
cho tam giác nhọn ABC , diện tích bằng 1 . Vẽ ba dường cao AD,BE , CF . chứng minh rằng :
a) SAED +SBFD + SCDE = cos2A +cos2B + cos2C
b) SDEF = sin2A - cos2B - cos2C
cho tam giác nhon ABC có S=1(đvdt).CM diện tích DEF=\(sin^2A-cos^2B-cos^2C\)
(biết AD,BE,CF là các đường cao)
Trước tiên ta chứng minh bài toán phụ: công thức tính diện tích tam giác ABC có góc A nhọn \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
Giải: Kẻ đường cao BH thì \(BH=AB.\sin A\)do đó \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A\)
Ta quay trở lại việc giải bài toán trên. (hình bạn tự vẽ nhé!)
Ta có \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BDF}-S_{CDE}\)suy ra \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}.\)
Áp dụng bài toán phụ ta có \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AE.AF.\sin A}{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}=\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}\)
Trong các tam giác vuông ACF và ABE có: \(\cos A=\frac{AF}{AC}\)và \(\cos A=\frac{AE}{AB}\)
Do đó \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)tương tự \(\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}=\cos^2B\)và \(\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=\cos^2C\)
Vậy \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\left(1-\cos^2A\right)-\cos^2B-\cos^2C=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C.\)
Hay \(S_{DEF}=\left(\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\)(do \(S_{ABC}=1\)).
cho tam giác nhon ABC có S=1(đvdt).CM diện tích DEF=\(sin^2A-cos^2B-cos^2C\)
(biết AD,BE,CF là các đường cao)
Cho tam giác ABC nhọn, \(S=1\). Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF. C/m:
a) \(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}=cos^2A+cos^2B+cos^2C\)
b)\(S_{DEF}=sin^2A-cos^2B-cos^2C\)
( Gợi ý: a) C/m: \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=cos^2A\)
a)
\(\Delta EAB\) ~ \(\Delta FAC\) (g - g)
\(\Rightarrow\dfrac{EA}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\cos^2A\)
\(\Rightarrow S_{AEF}=\cos^2A\left(S_{ABC}=1\right)\) (1)
Chứng minh tương tự, ta có: \(S_{BFD}=\cos^2B\) (2) và \(S_{CDE}=\cos^2C\) (3)
Cộng theo vế của (1) , (2) và (3) => đpcm
b)
\(S_{DEF}=S_{ABC}-\left(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}\right)\text{ }\)
\(=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)
\(=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\) (đpcm)
Cho tam giác nhọn ABC Có đường cao AH,BI,CK . CMR Diện tích HIK=(1-Cos^2(a)-Cos^2(b)-Cos^2(c)) . S ABC
Cho tam giác nhọn ABC 2 đường cao BD và CE. CMR
a) diện tích tam giác ADE= diện tích tam giác ABC . Cos^2 góc A
b) diện tích tứ giác BCDE = diện tích tam giác ABC . Sin góc A
Gọi AH và AK lần lượt là 2 đường cao của \(\Delta ADE\)và \(\Delta ABC\)
Xét tứ giác BCDE có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)nên tứ giác BCDE nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)( cùng bù với \(\widehat{BED}\))
\(\Rightarrow\Delta ADE\approx\Delta ABC\left(g.g\right)\) ( nếu chưa học tứ giác nội tiếp thì có thể xét các tam giác đồng dạng để c.m nha )
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AH}{AK}\) ( vì tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đường cao )
a) Ta có : \(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{DE.AH}{2}}{\frac{BC.AK}{2}}=\frac{AD}{AB}.\frac{AH}{AK}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2\)
Mà \(\cos A=\frac{AD}{AB}\Rightarrow\cos^2=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2\)\(\Rightarrow\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
\(\Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2A\)
b) \(S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}.\left(1-\cos^2A\right)=S_{ABC}.\sin^2A\)( vì \(\cos^2A+\sin^2A=1\))
cho tam giác abc có 3 góc nhọn và các đường cao ad , be , cf gọi h là trực tâm tam giác abc , c/m
a. tg aef đồng dạng tg abc
b. ha.hd=hb.he=hc.hf
c. diện tích tg abc=1/2.ab.ac.sinA
d. diện tích tg def / dt tg abc = 1 - (cos^2A+cos^2B+cos^2C )
a: Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>góc AFE=góc ACB
=>ΔAFE đồng dạng với ΔACB
b: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
góc FHB=góc EHC
Do đó: ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
Suy ra: HF/HE=HB/HC
hay \(HF\cdot HC=HB\cdot HE\)(1)
Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có
góc FHA=góc DHC
Do đó: ΔHFA đồng dạg với ΔHDC
Suy ra: HF/HD=HA/HC
hay \(HF\cdot HC=HA\cdot HD\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HE=HC\cdot HF\)
Cho tam giác ABC nhọn, SABC =1
Kẻ đường cao AD , BE , CF .
CMR : SAEF +SBFD +SCDe = cos2A + cos2B + cos2C
Giuso dùm cảm ơn nhiều