1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)

Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán 

a, \(\Delta'=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm 

b, để pt có 2 nghiệm pb khi m khác 1 

c, để pt có nghiệm kép khi m = 1 

d. Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\left(1\right)\\x_1x_2=2m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1-2x_2=0\left(3\right)\)

Từ (1) ; (3) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m\\x_1=2m-x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m-3\\x_1=2m-2m+3=3\end{matrix}\right.\)

Thay vào (2) ta được \(6m-9=2m-1\Leftrightarrow m=2\)

`a)` Ptr có:`\Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2 >= 0 AA m`

  `=>` Ptr luôn có nghiệm với mọi `m`

`b)` Áp dụng Vi-ét. Ta có:`{(x_1+x_2=[-b]/a=m),(x_1.x_2=c/a=m-1):}`

Ta có:`x_1+x_2=2x_1.x_2`

 `<=>m=2(m-1)`

 `<=>m=2m-2`

 `<=>m=2` 

a: Δ=(m+1)^2-4m=(m-1)^2>=0

=>Phương trình luôn có nghiệm

b: x1^2+x2^2+3x1x2=5

=>(x1+x2)^2+x1x2=5

=>(m+1)^2+m=5

=>m^2+3m-4=0

=>(m+4)(m-1)=0

=>m=1 hoặc m=-4

a) Đây là phương trình bậc 2 ẩn x có 

Δ = (-m)² - 4(m-1)

   = m²-4m+4  = (m-2)²

Do (m-2)²≥0 ∀m => Δ≥0 ∀m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1=2x_2\left(3\right)\)

Từ (1)(3) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}3x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m}{3}\\x_1=\dfrac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

<=> 2m² = 9(m - 1)

<=> 2m² - 9m + 9 = 0

<=> (m - 3)(2m - 3) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tại m ∈\(\left\{3;\dfrac{3}{2}\right\}\) thì hai nghiệm của phương trình thoả mãn x₁=2x₂

a) Ta có:

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-m\right)^2-4.1.\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Do phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Theo định lý Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{1}=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1=2x_2\), thay vào (1) ta có:

\(2x_2+x_2=3\Leftrightarrow3x_2=m\Leftrightarrow x_2=\dfrac{m}{3}\)

\(\Rightarrow x_1=2x_2=\dfrac{2m}{3}\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

\(\Leftrightarrow2m^2=9m-9\)

\(\Leftrightarrow2m^2-9m+9=0\)    (*)

\(\Delta_m=\left(-9\right)^2-4.2.9=9\)

Phương trình (*) có 2 nghiệm:

\(m_1=\dfrac{-\left(-9\right)+\sqrt{9}}{2.2}=3\)

\(m_2=\dfrac{-\left(-9\right)-\sqrt{9}}{2.2}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m=3;m=\dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1=2x_2\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m^2+1>0\) ;\(\forall m\Rightarrow\) phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(2m+1\right)\\x_1x_2=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(A=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\ge0\Leftrightarrow2m+1\ge0\Rightarrow m\ge-\dfrac{1}{2}\)

a)Ta có:
`\Delta'`
`=(m+1)^2-6m+4`
`=m^2+2m+1-6m+4`
`=m^2-4m+5`
`=(m-2)^2+1>=1>0(AA m)`
`=>`phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Câu b đề không rõ :v