Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)

Vậy OA ⊥ MN.

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

b: Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{OBA}=90^0\)

\(\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{HBI}=\widehat{CBI}\)

=>BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

Xét ΔBAC có

AH,BI là các đường phân giác

AH cắt BI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔBAC

a, Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), chúng ta có thể sử dụng định lí thứ ba của đường tròn và định lí Euclid về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp. 

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn, \(O\) là tâm của đường tròn, \(A\) là điểm nằm ngoài đường tròn, \(B\) và \(C\) là các điểm tiếp tuyến từ \(A\) đến đường tròn. \(H\) là giao điểm giữa \(OA\) và \(BC\).

Theo định lí thứ ba của đường tròn, ta có \(OH\) là đoạn trung bình của \(OA\) trong tam giác \(OAB\). Điều này có nghĩa là \(OH\) là trung bình hòa của các phần bằng nhau \(OA\) và \(OB\).

\(OA = OB = R\) (bán kính của đường tròn).

\(OH = \frac{OA + OB}{2} = \frac{2R}{2} = R\).

Vậy, \(OH = R\).

Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), ta có \(OH \times OA = R \times R = R^2\).

Nhưng theo định nghĩa, \(R\) là bán kính của đường tròn, nên \(R^2\) chính là \(\pi^2\) (bán kính mũ hai). Vì vậy, \(OH \times OA = \pi^2\).

b, Để chứng minh \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), chúng ta có thể sử dụng các định lí về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(OA\) với đường tròn. Khi đó, theo định lí về tiếp tuyến ngoại tiếp, \(OA\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và \(OA\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\).

Vì OA là đường trung trực của BC (do H là giao điểm giữa OA và BC, nên OH cũng là đường trung trực của BC.)

Nếu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì OI cũng là đường trung trực của BC

Do đó, OHvà OI là cùng một đường trung trực của BC, nên OH = OI.

Vậy, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a: Xét (O) có

AM là tiếp tuyến

AN là tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

hay A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

nên O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(3)

b: Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp

MC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại N

=>MN⊥NC(4)

Từ (3) và (4) suy ra OA//CN

c: Xét (O) có 

ΔMDC nội tiếp

MC là đường kính

Do đó:ΔMDC vuông tại D

Xét ΔMAC vuông tại M có MD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(5\right)\)

Xét ΔMOA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6)suy ra \(AD\cdot AC=AH\cdot AO\)

a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A

OA là tia phân giác cũng là đường cao

\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)

b) đặc H là giao điểm của MN và AO

ta có MH = HN (OA \(\perp\) MN \(\Rightarrow\) H là trung điểm MN)

mà CO = CN = R

\(\Rightarrow\) OH là đường trung bình của tam giác MNC

\(\Rightarrow\) OH // MC \(\Leftrightarrow\) MC // OA (đpcm)

c) OM = ON = R \(\Rightarrow\) ON = 3 (cm)

ta có : ON² + AN² = AO² (pytago) \(\Rightarrow\) AN² = AO² - ON²

= 5² - 3² = 25 - 9 = 16 \(\Rightarrow\) AN = \(\sqrt{16}=4\) (cm)

ta có : AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow\) 5HN = 4.3 = 12 \(\Rightarrow\) HN = \(\dfrac{12}{5}=2,4\) (cm)

ta có MN = 2HN = 2.2,4 = 4,8 (H là trung điểm MN)

vậy AM = AN = 4(cm) ; MN = 4,8(cm)

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

=>ΔABC cân tại A

b: OB=OC

AB=AC

Do đó: AO là trung trực của BC

=>AO vuông góc với BC

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>ΔABC cân tại A

b: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC

c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2+3^2=5^2\)

=>\(BA^2=25-9=16\)

=>\(BA=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔBOA vuông tại B có BI là đường cao

nên \(BI\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BI\cdot5=3\cdot4=12\)

=>BI=12/5=2,4(cm)

d: Ta có: ΔABI vuông tại I

=>\(IB^2+AI^2=AB^2\)

=>\(IB^2=AB^2-AI^2\left(3\right)\)

Ta có: ΔOIC vuông tại I

=>\(OC^2=OI^2+CI^2\)

=>\(CI^2=OC^2-OI^2\left(4\right)\)

I là trung điểm của BC

=>IB=IC(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(AB^2-AI^2=OC^2-OI^2\)

=>\(AB^2-OC^2=AI^2-OI^2\)