Question

Cho đường tròn $(O)$, điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AM$, $AN$ với đường tròn ($M$, $N$ là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\perp MN\).
b) Gọi I là giao điểm của $OA$ với $(O)$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNA$.
c) Góc $MAN$ bằng bao nhiêu độ để tứ giác $OMIN$ là hình thoi?

Answer 1

12NC" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">12NC

95(cm)⇒AH=OA−OH=165" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">95(cm)⇒AH=OA−OH=165

95.165⇒MH=125(cm)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">95.165⇒MH=125(cm)

245(cm)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">245(cm).

 

Answer 2

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 3

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 4

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 5

Answer 6

Answer 7

a, có OM=ON ( =R)
     NA=MA (tc 2 tt cắt nhau)
=> OA là đường trung trực của MN 
=>  OA \(\perp\)MN(đpcm)

 

Answer 8

                                                            bài làm

a,  xét tam giác MAN có:

AM=AN

⇒ tam giác MAN là tam giác cân tại A

phân giác OA và cũng là đường cao và trung tuyến

⇒ OA vuông góc với MN

b, xét tam giác MOA vuông tại M (vì M là tiếp điểm) có:

       MI là trung tuyến của  AO 

⇒ MI=OI=AI ( định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

xét tam giác ANO vuông tại N có:

NI là trung tuyến của AO

⇒ NI=OI=AI ( định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Vậy 3 điểm MNA (I; \(\dfrac{OA}{2}\))

Answer 9

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 10

Answer 11

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 12

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc MAN^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

 

12sđ=12sđ=IMA^NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc NMA^NMA.

 

Answer 13

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy \(OA⊥MN.\)OA\perp MN

b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc $\hat{}$ \(\widehat{MAN}\) và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:    \(\widehat{NMI} = \dfrac{1}{2}sđ\widehat{NI}=\dfrac{1}{2}sđ \widehat{MI} = \widehat{IMA}\)   $\Rightarrow$ IM là phân giác góc \(\widehat{NMA}\) $\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA. c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì  $OM=ON=MI=IN=R$. Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \(\widehat{MON}\) = \(\widehat{MOA}\) + \(\widehat{AON } \) =  60° + 60° = 120° Suy ra \(\widehat{MAN}\) = 180° - \(\widehat{MON}\) = 60° Ngược lại giả sử \(\widehat{MAN} = 60°\) suy ra \(\widehat{MON} = 180°\) - \(\widehat{MAN} = 120°\) Có OA là tia phân giác của góc MON nên \(\widehat{MOA} = \) \(\widehat{AON} = 120° : 2 = 60°\) Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi. vậy \(\widehat{MAN} = 60°\) thì tứ giắc OMIN là hình thoi      

Answer 14

 

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 15

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 16

a. Ta có : AM và AN là tiếp tuyến của (O), M và N là 2 tiếp điểm 

=>AM=AN,góc NAO= góc MAO ,góc AON =góc AOM (tính chất)

Xét tam giác MAN có :

   AM=AN (chứng minh trên)

=>Tam giác MAN cân tại A (dhnb)

    mà AO là tia  phân giác của tam giác MAN (góc NAO= góc MAO)

=> AO cũng là đường cao của tam giác MAN

=> AO vuông góc với MN (đpcm)

Answer 17

a) Xét (O) có AM và AN là hai tiếp tuyến, M và N lần lượt là tiếp điểm (gt)

=> AM=AN, AO là tia phân giác của góc MAN ( tính chất 2 tiếp tuyến )

Xét tam giác MAN ta có :

AM = AN (cmt)

=> Tam giác MAN cân tại A (định nghĩa )

Mà AO là tia phân giác của góc MAN (cmt)

=> AO cũng là đường cao của tam giác MAN ( tính chất )

=> OA vuông góc với MN (đpcm)  

 

Answer 18

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:
        IM là phân giác góc ^NMA.
       => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 19

a, Xét (O) có 

2 tiếp tuyến AN và AM cắt nhau tại A với tiếp điểm N,M 

=> AN=AM => Δ ANM cân tại A => AO là tia phân giác góc NAM => AO vuông góc với MN(đpcm)

b, Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc MAN và I là điểm chính giữa của cung MN

=> góc NMI= 1/2 sđ cung NI= 1/2 sđ cung MI = góc IMA

=> IM là phân giác góc NMA

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA

c, để tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=IM=IN= R_(o)

_=> ΔONI và ΔOMI là tam giác đều

=>góc NOI = góc MOI= \(60^{o}\)

có góc MON = góc NOI + góc MOI = \(60^{o}\)+ \(60^{o}\)=\(120^{o}\)

có AN và AM là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O)

=> góc ANO= góc AMO = \(90^{o}\)

xét tứ giác ANOM có 

góc MAN + góc ANO +góc AMO + góc MON = \(360^{o}\)

Góc MAN + \(90^{o}\)+\(90^{o}\)+ \(120^{o}\)= \(360^{o}\)

=> góc MAN = \(60^{o}\)

Vậy góc MAN bằng \(60^{o}\)thì tứ giác OMIN là hình thoi

Answer 20

 

Answer 21

a) tam giác NAM cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng là đường cao 
⇒ OA vuông góc với MN 
b) do MA ,NA là 2 tiếp tuyến cùng xuất phát tại 1 điểm nằn ngoài đường tròn nên AO là là phân giác góc NAM và là 1 điểm chính giữa của cung MN 
nên ta có 
MIN =\(\dfrac{1}{2}\)sđg NI =\(\dfrac{1}{2}\)sddg MI =IMA 
⇒IM là phân giác góc NMA 
⇒I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAM 

Answer 22

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.

Answer 23

Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN. b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^ MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có: . ⇒ IM là phân giác góc ^ NMA . ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp

Answer 24

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 25

Answer 26

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

                   

Answer 27

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 28

Answer 29

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

Answer 30