Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a\le1\Leftrightarrow a^2\le a\)

\(VT=\sqrt{4a+4.1+1}+\sqrt{4b+4.1+1}+\sqrt{4c+4.1+1}\ge\sqrt{4a^2+4a+1}+\sqrt{4b^2+4b+1}+\sqrt{4c^2+4c+1}\)

\(=2a+1+2b+1+2c+1=7\) .

Vậy đẳng thức được chứng minh . Dấu \("="\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0\) và hoán vị

Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).

Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).

Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).

Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.

Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0. 

Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)

Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$

Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)

Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)

rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.

Không biết còn cách nào khác không nhỉ?

\(a;b;c\ge0;a+b+c=1\Rightarrow a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)

\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)

\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}+\sqrt{\left(b+2\right)^2}+\sqrt{\left(c+2\right)^2}\)

\(=a+b+c+2+2+2=7\)

\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của (0;0;1)

Tìm trước khi hỏi : 

Đề vòng 1 chuyên sư phạm 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học

Witch Rose

a,b,c" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b,c không âm và a+b+c=1 nên 2≤t=5c+4≤3

a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16

⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)

⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2

⇔5a+4+5b+4≥2+9−5c=2+13−t2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔√5a+4+√5b+4≥2+√9−5c=2+√13

Em nghĩ đề là \(a,b,c\ge0\) thì dấu "=" mới xảy ra chứ ạ?Nếu như thế thì có lẽ là như vầy:

Do \(a,b,c\ge0\) và \(a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) (1)

Ta sẽ c/m BĐT phụ: \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\)

\(\Leftrightarrow5a+4\ge a^2+4a+4\)

\(\Leftrightarrow a^2-a\le0\Leftrightarrow a\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le1\) (đúng theo (1)

Tương tự với 2 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge\left(a+b+c\right)+6=7^{\left(đpcm\right)}\)

bài này sai đề vì ta làm dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\).sau đó thay vào biểu thức cần cm thì sẽ thấy vô lí

Đề sai rồi bạn

đè ko sai đâu.

Vì a,b,c không âm và có tổng bằng 1 nên

\(0\le a,b,c\le\left\{{}\begin{matrix}a\left(1-a\right)\ge0\\b\left(1-b\right)\ge0\\c\left(1-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge a^2\\b\ge b^2\\c\ge c^2\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\sqrt{5a+4}\ge\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}=a+2\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\)

Do đó: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge\left(a+b+c\right)+6=7\) (điều phải chứng minh)

CÁCH KHÁC:

Giả sử \(\Sigma_{cyc}\sqrt{5a+4}< 7\)

Có:\(\sqrt{5a+4}\le\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+4+\frac{17}{3}}{2}=\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+\frac{29}{3}}{2}\)\(=\sqrt{\frac{3}{17}}.\left(\frac{5}{2}a+\frac{29}{6}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{\frac{3}{17}}\left[\frac{5}{2}\Sigma a+\frac{29}{2}\right]\)\(=\sqrt{51}>7\)

Ta thấy dấu = có xảy ra (!)
Vậy ta có đpcm.

#Walker

Em nghĩ cần thêm đk a, b, c là các số thực dương

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì x + y + z = 3; x > 0,y>0,z>0

BĐT \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{x}+4}+\sqrt{\frac{5}{y}+4}+\sqrt{\frac{5}{z}+4}\le3\sqrt{3\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5yz+4xyz}+\sqrt{5zx+4xyz}+\sqrt{5z+4xyz}\le3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\)(*)

\(VT\le\sqrt{5\left(xy+yz+zx\right)+12xyz+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(5yz+4xyz\right)\left(5zx+4xyz\right)}}\)

\(\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+36xyz}\)(áp dụng BĐT AM-GM)

Chú ý rằng: \(xyz\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{9}\)

Từ đó \(VT\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+4\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}\)

\(=3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=VP_{\text{(*)}}\)

Ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Is that true?

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geq 3\)

Và:

\(\text{VT}^2=(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4})^2\)

\(\leq (5a+4+5b+4+5c+4)(1+1+1)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\leq 15(a+b+c)+36\)

Mà $3\leq a+b+c$ (cmt)

$\Rightarrow \text{VT}^2\leq 15(a+b+c)+12(a+b+c)=27(a+b+c)$

$\Rightarrow \text{VT}\leq 3\sqrt{3(a+b+c)}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$