Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Loz Hồ

Cho a,b,c là 3 số thực không âm và thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng :

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge7\)

Thị Huyền Trang Nguyễn
15 tháng 12 2017 lúc 11:22

Vì a,b,c không âm và có tổng bằng 1 nên

\(0\le a,b,c\le\left\{{}\begin{matrix}a\left(1-a\right)\ge0\\b\left(1-b\right)\ge0\\c\left(1-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge a^2\\b\ge b^2\\c\ge c^2\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\sqrt{5a+4}\ge\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}=a+2\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\)

Do đó: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge\left(a+b+c\right)+6=7\) (điều phải chứng minh)

Nguyen
24 tháng 10 2019 lúc 21:14

CÁCH KHÁC:

Giả sử \(\Sigma_{cyc}\sqrt{5a+4}< 7\)

Có:\(\sqrt{5a+4}\le\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+4+\frac{17}{3}}{2}=\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+\frac{29}{3}}{2}\)\(=\sqrt{\frac{3}{17}}.\left(\frac{5}{2}a+\frac{29}{6}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{\frac{3}{17}}\left[\frac{5}{2}\Sigma a+\frac{29}{2}\right]\)\(=\sqrt{51}>7\)

Ta thấy dấu = có xảy ra (!)
Vậy ta có đpcm.

#Walker

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Some one
Xem chi tiết
Hiền Thương
Xem chi tiết
ha thi thuy
Xem chi tiết
Hàn Dĩnh
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Lông_Xg
Xem chi tiết
pham tuan anh
Xem chi tiết
Châu Anh Minh
Xem chi tiết
Lâm Duyên
Xem chi tiết