Question

Cho a, b, c là 3 số thực không âm và thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge7\)

Answer 1

\(a;b;c\ge0;a+b+c=1\Rightarrow a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)

\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)

\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}+\sqrt{\left(b+2\right)^2}+\sqrt{\left(c+2\right)^2}\)

\(=a+b+c+2+2+2=7\)

\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của (0;0;1)