Áp dụng bđt bunhiacopxki có:
\(\left(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\right)^2\le\left(5a+1+5b+1+5c+1\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=3\cdot\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=3\cdot8=24\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\le\sqrt{24}=2\sqrt{6}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
Cho a, b, c là 3 số thực không âm và thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge7\)
Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của T = \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
Cho 3 số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le2\)
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD.
Chứng minh rằng:
a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC
b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB
Bài 2 :
Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\)
CMR ; \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
cho a,b,c >0 thỏa \(a+b+c\le2\)
chứng minh \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{\sqrt{97}}{2}\)
Cho a,b,c là các số không âm thỏa: a+b+c=1. tìm giá trị nhỏ nhất của A= \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
Ôn tập Bất đẳng thức
1 , Cho a,b,c<3 thỏa mãn abc(a+b+c)=3 . Tìm GTNN của C= \(\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
2, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh a, \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
b, \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
3, Cho a,b,c >0 và \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tính GTLN của P= \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
4 , Cho a,b,c>0 và \(ab+bc+ca\ge a+b+c\)
Chứng minh \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge1\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
