Trong mp(SAD) kẻ DF//SA

SA⊥AD => DF⊥AD mà AD⊥DC => AD⊥(DCF)

Kẻ CH⊥DF => CH⊥AD => CH⊥(SAD)

=> H là hình chiếu của C lên (SAD)

=> \(\widehat{\left(SC,\left(SAD\right)\right)}=\widehat{\left(SC,SH\right)}=\widehat{CSH}\)

ΔCFD=ΔSAB => ΔCFD đều cạnh a => CH= \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)

SC= \(\sqrt{2}a\)

Xét tam giác SCH vuông ở H ta có:

sin CSH= \(\dfrac{HC}{SC}\)=\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

=>  \(\widehat{CSH}\)= arcsin\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

Do SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi E là trung điểm CD, từ H kẻ \(HF\perp SE\) (F thuộc SE)

\(\left\{{}\begin{matrix}HE\perp CD\\SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp HF\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(HE=BC=a\) ; \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

Hệ thức lượng: 

\(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Đáp án B

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó  S H ⊥ ( A B C D )

Ta có S H ⊥ A B ; A B ⊥ H N ; H N ⊥ S H và  S H = 3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:

B ( 1 ; 0 ; 0 ) ; A ( - 1 ; 0 ; 0 ) ; N ( 0 ; 2 3 ; 0 ) ; C ( 1 ; 2 3 ; 0 ) ; D ( - 1 ; 2 3 ; 0 ) ; S ( 0 ; 0 ; 3 ) ; M ( - 1 2 ; 0 ; 3 2 ) ; P ( 1 ; 3 ; 0 )  

Mặt phẳng (SCD) nhận n 1 → = - 3 6 C D   → , S C   → = 0 ; 1 ; 2 làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận n 2 → = - 2 3 3 M N   → , M P   → = 3 ; 1 ; 5 làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi  ∅ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

cos ∅ = n 1 → . n 2 → n 1 → . n 2 → = 11 145 145