Gọi K là trung điểm CD \(\Rightarrow CD\perp\left(SIK\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ISK}\) là góc giữa SI và (SCD)

\(SI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(IK=a\)

\(SK=\sqrt{SI^2+IK^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(sin\widehat{ISK}=\dfrac{IK}{SK}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

Đáp án B

a. Ta có : \(\begin{cases}AB\perp BC\left(ABCDvuong\right)\\SA\perp BC\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\end{cases}\)  \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\subset\left(SAB\right)\) nên \(BC\perp SB\) Vậy \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\)

tương tự ta có : \(\begin{cases}SA\perp DC\\AD\perp DC\end{cases}\) \(\Rightarrow DC\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\subset\left(SAD\right)\) nên \(SD\perp DC\) Vậy \(\Delta SDC\left(\perp D\right)\)

ta có \(SA\perp AD\) nên \(\Delta SAD\left(\perp A\right)\) 

Có \(SA\perp AB\) nên \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\)

b. Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) mà \(BD\subset\left(SBD\right)\) nên \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

c. Ta có : \(CB\perp\left(SAB\right)\) Hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB nên góc giữa SC và (SAB) là \(\widehat{CSB}\)

Xét \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\) ta có : Theo Pytago: \(SB^2=SA^2+AB^2\Leftrightarrow SB=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\)

Xét \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\) ta có \(tan\widehat{CSB}=\frac{CB}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}\) \(\Rightarrow\widehat{BSC}=30^o\)

a.

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\) \(\Rightarrow SH\perp CD\)

Gọi E là trung điểm CD \(\Rightarrow HE||BC\Rightarrow HE\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

Từ H kẻ \(HF\perp SE\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a), \(HE=BC=a\)

Hệ thức lượng: \(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Do \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

b.

Theo tính chất trọng tâm, ta có \(GS=\dfrac{2}{3}HS\)

Mà \(HG\cap\left(SCD\right)=S\Rightarrow d\left(G;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}\)

c.

Từ H kẻ \(HK\perp SA\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow AD\perp HK\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(HK=\dfrac{SH.AH}{\sqrt{SH^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Do \(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\cap\left(SAD\right)=A\\BA=2HA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

d.

Gọi M là trung điểm AD \(\Rightarrow OM||CD\Rightarrow CD||\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow d\left(CD;SO\right)=d\left(CD;\left(SOM\right)\right)=d\left(E;\left(SOM\right)\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}HE\cap\left(SOM\right)=O\\HO=EO\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d\left(E;\left(SOM\right)\right)=d\left(H;\left(SOM\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HI\perp SO\)

\(OM||CD\Rightarrow OM\perp\left(SHE\right)\Rightarrow OM\perp HI\)

\(\Rightarrow HI\perp\left(SOM\right)\Rightarrow HI=d\left(H;\left(SOM\right)\right)\)

\(OH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

Hệ thức lượng:

\(HI=\dfrac{SH.HO}{\sqrt{SH^2+HO^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)