CHO \(\frac{A}{B}+\frac{A}{C}=\frac{A}{B}\cdot\frac{A}{C}\)
CHỨNG MINH RẰNG \(A=B+C\)
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a\cdot b}{c}+\frac{b\cdot c}{a}+\frac{c\cdot a}{b}\ge a+b+c\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab\cdot bc}{ca}}=2b\)
Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)
Cộng theo vế 3 bđt :
\(2\cdot\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a\cdot b}{c}+\frac{b\cdot c}{a}+\frac{c\cdot a}{b}\ge a+b+c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
tương tự cộng theo vế rút gọn ta có đpcm
Cho a,b,c>0 và \(a+b+c\le1\) .Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^2+2\cdot b\cdot c}+\frac{1}{b^2+2\cdot a\cdot c}+\frac{1}{c^2+2\cdot a\cdot b}\)
Đề đúng : Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le1\)
CMR : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Đặt \(x=a^2+2bc,y=b^2+2ac,z=c^2+2ab\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{1}{y}.y}+\sqrt{\frac{1}{z}.z}\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Ta thấy: \(\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)=\left(a+b+c\right)^2\le1\)
Sử dụng Cosi 3 số ta suy ra
\(VT\ge\left[\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)\right]\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot\frac{1}{b^2+2ac}\cdot\frac{1}{c^2+2ab}}=9\) (Đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi\(\begin{cases}a+b+c=1\\a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
mk tìm đc gtln
Đặt a+b=x b+c=y c+a=z
BDT cần cm ⇔(x+y)(y+z)(z+x)xyz (vì a+b+c=1)
Đến đây cô si bình thường ra min bằng 8
Cho a,b,c,d thuộc Z và \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng :
\(\frac{2018\cdot a+c}{2018\cdot b +d}< \frac{c}{d}\)
Ta có:a/b<c/d<=>a.d<b.c
<=>2018a.d<2018b.c
<=>2018a.d+c.d<2018b.c+d.c
<=>d(2018a+c)<c(2018b+d)
<=>2018a+c/2018b+d<c/d(dpcm)
Ta có: Để \(\frac{2018\cdot a+c}{2018\cdot b+d}< \frac{c}{d}\Rightarrow\left(2018\cdot a+c\right)\cdot d< \left(2018\cdot b+d\right)\cdot c\)
\(2018\cdot a\cdot d+c\cdot d< 2018\cdot b\cdot c+c\cdot d\)
\(2018\cdot a\cdot d< 2018\cdot b\cdot c\)(bỏ cả 2 vế đi \(c\cdot d\))(gọi là (1))
Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow a\cdot d< b\cdot c\Rightarrow2018\cdot a\cdot d< 2018\cdot b\cdot c=\left(1\right)\)Mà (1) bằng \(\frac{2018\cdot a+c}{2018\cdot b+d}< \frac{c}{d}\) (điều phải chứng minh)
Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{7}{16}\cdot\frac{max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}}{ab+bc+ca}\)
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)với \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\frac{1}{p-a}\)+\(\frac{1}{p-b}\)+\(\frac{1}{p-c}\)\(\ge\)2.(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))
Ta có:
\(\frac{1}{p-a}\)= \(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}\)=\(\frac{2}{b+c-a}\)
\(\frac{1}{p-b}\)=\(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)=\(\frac{2}{a+c-b}\)
\(\frac{1}{p-c}\)=\(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}\)=\(\frac{2}{a+b-c}\)
Vì a,b,c>0 ta có dụng BĐT sau:\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{b+c-a+a+c-b}\)=\(\frac{8}{2c}\)=\(\frac{4}{c}\)
\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+b-c}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{b+c-a+a+b-c}\)=\(\frac{8}{2b}\)=\(\frac{4}{b}\)
\(\frac{2}{a+b-c}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{a+b-c+a+c-b}\)=\(\frac{8}{2a}\)=\(\frac{4}{a}\)
Cộng vế với vế của (1);(2) và(3) ta co:
\(\frac{4}{b+c-a}\)+\(\frac{4}{a+c-b}\)+\(\frac{4}{a+b-c}\)\(\ge\)\(\frac{4}{c}\)+\(\frac{4}{b}\)+\(\frac{4}{a}\)
\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)+\(\frac{2}{a+b-c}\)\(\ge\)2(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))
Vậy\(\frac{1}{p-a}\)+\(\frac{1}{p-b}\)+\(\frac{1}{p-c}\)\(\ge\)2(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))
dấu = xảy ra khi a=b=c
Hi :D
Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và mình post lên đây nhầm mong muốn các bạn đóng góp lời giải của mình vào
Câu 1:
Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1}\ge1\left(\cdot\right)\)
Câu 2:
Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\frac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\frac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\left(\cdot\cdot\right)\)
Câu 3:
Với a,b,c,d là các số thực dương và \(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}+\frac{d}{d^2+2}\le1\left(\cdot\cdot\cdot\right)\)
Câu 4:
Với a,b,c,d thõa mãn điều kiện \(a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\),Chứng minh rằng:
\(2\left(a+b+c+d\right)\ge\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}+\sqrt{d^2+3}\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)
Câu 5:
Với a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2}\ge0\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)
Continue...
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b};\frac{c}{d}\)(b > 0 : d >0 ) Chứng tỏ rằng :
a,\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d< b\cdot c\)
b, \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
a, \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd};\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}\)
Mà \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow ad< bc\)
b, Theo câu a ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
Lại có: \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => đpcm
a, \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd};\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}\)
Mà \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow ad< bc\)
b, Theo câu a, ta có:
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)
Lại có: \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) => đpcm.