Bài 1 :

a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)

Áp dụng bđt Cô-si :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab\cdot bc}{ca}}=2b\)

Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)

Cộng theo vế 3 bđt :

\(2\cdot\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

tương tự cộng theo vế rút gọn ta có đpcm 

Đề đúng : Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le1\)

CMR : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)

Đặt \(x=a^2+2bc,y=b^2+2ac,z=c^2+2ab\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{1}{y}.y}+\sqrt{\frac{1}{z}.z}\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\) 

Ta thấy: \(\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)=\left(a+b+c\right)^2\le1\)

Sử dụng Cosi 3 số ta suy ra

\(VT\ge\left[\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)\right]\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\)

\(\ge3\sqrt[3]{\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot\frac{1}{b^2+2ac}\cdot\frac{1}{c^2+2ab}}=9\) (Đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi\(\begin{cases}a+b+c=1\\a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

mk tìm  đc gtln

Đặt a+b=x b+c=y c+a=z

BDT cần cm $\iff \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$ (vì a+b+c=1)

Đến đây cô si bình thường ra min bằng 8

Ta có:a/b<c/d<=>a.d<b.c

<=>2018a.d<2018b.c

<=>2018a.d+c.d<2018b.c+d.c

<=>d(2018a+c)<c(2018b+d)

<=>2018a+c/2018b+d<c/d(dpcm)

Ta có: Để \(\frac{2018\cdot a+c}{2018\cdot b+d}< \frac{c}{d}\Rightarrow\left(2018\cdot a+c\right)\cdot d< \left(2018\cdot b+d\right)\cdot c\)

\(2018\cdot a\cdot d+c\cdot d< 2018\cdot b\cdot c+c\cdot d\)

\(2018\cdot a\cdot d< 2018\cdot b\cdot c\)(bỏ cả 2 vế đi \(c\cdot d\))(gọi là (1))

Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow a\cdot d< b\cdot c\Rightarrow2018\cdot a\cdot d< 2018\cdot b\cdot c=\left(1\right)\)Mà (1) bằng \(\frac{2018\cdot a+c}{2018\cdot b+d}< \frac{c}{d}\) (điều phải chứng minh)

\(\frac{1}{p-a}\)+\(\frac{1}{p-b}\)+\(\frac{1}{p-c}\)\(\ge\)2.(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))

 Ta có: 

\(\frac{1}{p-a}\)= \(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}\)=\(\frac{2}{b+c-a}\)

\(\frac{1}{p-b}\)=\(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)=\(\frac{2}{a+c-b}\)

\(\frac{1}{p-c}\)=\(\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}\)=\(\frac{2}{a+b-c}\)

Vì a,b,c>0 ta có dụng BĐT sau:\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{x+y}\)

\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{b+c-a+a+c-b}\)=\(\frac{8}{2c}\)=\(\frac{4}{c}\)

\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+b-c}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{b+c-a+a+b-c}\)=\(\frac{8}{2b}\)=\(\frac{4}{b}\)

\(\frac{2}{a+b-c}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)\(\ge\)\(\frac{2.4}{a+b-c+a+c-b}\)=\(\frac{8}{2a}\)=\(\frac{4}{a}\)

Cộng vế với vế của (1);(2) và(3) ta co:

\(\frac{4}{b+c-a}\)+\(\frac{4}{a+c-b}\)+\(\frac{4}{a+b-c}\)\(\ge\)\(\frac{4}{c}\)+\(\frac{4}{b}\)+\(\frac{4}{a}\)

\(\frac{2}{b+c-a}\)+\(\frac{2}{a+c-b}\)+\(\frac{2}{a+b-c}\)\(\ge\)2(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))

Vậy\(\frac{1}{p-a}\)+\(\frac{1}{p-b}\)+\(\frac{1}{p-c}\)\(\ge\)2(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))

dấu = xảy ra khi a=b=c

Mày nhìn cái chóa j

Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)

Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:

Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đây là điều hiển nhiên.

a, \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd};\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}\)

Mà \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow ad< bc\)

b, Theo câu a ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

Lại có: \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

a, \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd};\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}\)

Mà \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow ad< bc\)

b, Theo câu a, ta có:

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)

Lại có: \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm.