a) Do M là trung điểm của BC (gt)

⇒ BM = CM

Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AM là cạnh chung

AB = AC (cmt)

BM = CM (cmt)

⇒ ∆AMB = ∆AMC (c-c-c)

b) Sửa đề:

Chứng minh AM EF

Giải:

Gọi D là giao điểm của AM và EF

Do ∆AMB = ∆AMC (cmt)

⇒ ∠MAB = ∠MAC (hai góc tương ứng)

⇒ ∠MAE = ∠MAF

Xét hai tam giác vuông: ∆MAE và ∆MAF có:

AM là cạnh chung

∠MAE = ∠MAF (cmt)

⇒ ∆MAE = ∆MAF (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AE = AF (hai cạnh tương ứng)

Do ∠MAE = ∠MAF (cmt)

⇒ ∠DAE = ∠DAF 

Xét ∆ADE và ∆ADF có:

AD là cạnh chung

∠DAE = ∠DAF (cmt)

AE = AF (cmt)

⇒ ∆ADE = ∆ADF (c-g-c)

⇒ ∠ADE = ∠ADF (hai góc tương ứng)

Mà ∠ADE + ∠ADF = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠ADE = ∠ADF = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AD ⊥ EF

.

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét tứ giác BEFI có 

\(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=180^0\)

Do đó: BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔACE và ΔAFC có

\(\widehat{CAF}\) chung

\(\widehat{AEC}=\widehat{ACF}\)

Do đó: ΔACE\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AF}\)

hay \(AE\cdot AF=AC^2\)

Do E thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{FIB}=90^0\) (do \(CD\perp AB\) tại I)

\(\Rightarrow\) E và I cùng nhìn BF dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF

b. 

Xét hai tam giác vuông AIF và AEB có: góc \(\widehat{IAF}\) chung

\(\Rightarrow\Delta_VAIF\sim\Delta_VAEB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AI.AB=AE.AF\) (1)

Mặt khác \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ACB với đường cao CI:

\(AC^2=AI.AB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AE.AF=AC^2\)