Question

Cho ∆ABC.M là điểm nằm trong ∆ABC.Vẽ MD vuông góc BC tại D,ME vuông góc AC tại E,MF vuông góc AB tại F.Chứng minh rằng AF² + BD² + CE² = AE² + BF² + CD²

Answer 1

- Xét tam giác AFM vuông tại F có:

AF²+FM²=AM² (định lí Py-ta-go).

=>FM²=AM²-AF². (1)

- Xét tam giác BFM vuông tại F có:

BF²+FM²=BM² (định lí Py-ta-go).

=>FM²=BM²-BF² (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: AM²-AF²=BM²-BF² (7)

- Xét tam giác MBD vuông tại D có:

MD²+BD²=BM² (định lí Py-ta-go).

=>MD²=BM²-BD² (3)

- Xét tam giác MCD vuông tại D có:

MD²+DC²=MC² (định lí Py-ta-go).

=>MD²=MC²-DC² (4)

- Từ (3) và (4) suy ra: BM²-BD²=MC²-DC² (8)

- Xét tam giác MEC vuông tại E có:

ME²+EC²=MC² (định lí Py-ta-go).

=>ME²=MC²-EC² (5)

- Xét tam giác MEA vuông tại E có:

ME²+AE²=MA² (định lí Py-ta-go).

=>ME²=MA²-AE² (6)

- Từ (5) và (6) suy ra: MC²-EC²=MA²-AE² (9)

- Từ (7),(8),(9) suy ra:

AM²-AF²+BM²-BD²+MC²-EC²=BM²-BF²+MC²-DC²+MA²-AE²

=>-AF²-BD²-EC²=-BF²-DC²-AE²

=>AF²+BD²+EC²=BF²+DC²+AE²