Sử dụng bất đẳng thức cô-si. Chứng minh bất đẳng thức \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
CM: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\) với a, b > 0.
...
Làm ơn ạ, lớp 8 chưa học bất đẳng thức Cô-si =(((
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\((a+b)\ge 2\sqrt{ab}\)
\(\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge 2\sqrt{\dfrac1{ab}}\)
\(\Rightarrow (a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right) \ge 2\sqrt{ab}2\sqrt{\dfrac1{ab}}=4\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng BĐT với hai số dương ta có:
`a+b>=2sqrt{ab}`
`1/a+1/b>=2/sqrt{ab}`
`=>(a+b)(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}. 2/sqrt{ab}=4`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b>0`
Sử dụng bất đẳng thức cô-si. Chứng minh bất đẳng thức \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Coi như a, b, c là số dương
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{c}{ba}}=2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{2}{b}\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{c^2}}=\dfrac{2}{c}\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
\(\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}}=\dfrac{2}{a}\left(3\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\\ \Rightarrow2\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra ...
Vậy ...
a, b, c có phải là số dương không bạn, nếu không thì làm sao dùng BĐT Cô-si được
Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si,tìm GTNN của P= \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\)
Bài này mình từng giải rồi. Đề đúng phải là:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.
Tìm GTNN của \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Bài giải:
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}\left(1\right)\)
Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{6b-c-a-2}{8}\left(2\right)\\\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6c-a-b-2}{8}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}+\dfrac{6b-c-a-2}{8}+\dfrac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PS: Chép đề thì cẩn thận vô bạn.
1 cach giai khac cho Cosi va C-S Câu hỏi của Hoàng Phúc - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
chứng minh bất đẳng thức:
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Ta có: \(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Ta lại có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
=> \(A\ge4\) => đpcm
Xét A , ta thấy
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân , ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\Rightarrow A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(\left(A+B\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\ge4\)
B) \(\left(A+B+C\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right)\ge9\)
C) \(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{9}{A+B+C}\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{A+B+C}=\dfrac{9}{A+B+C}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}\)
Cho a, b, c là số thực dươn. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8ab\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)
Chứng minh bất đẳng thức: \(\left(1+a\right)^x>\dfrac{x\left(x-1\right)}{2}a^2\) với x là biến và a là hằng số dương bất kì