BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\((a+b)\ge 2\sqrt{ab}\)
\(\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge 2\sqrt{\dfrac1{ab}}\)
\(\Rightarrow (a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right) \ge 2\sqrt{ab}2\sqrt{\dfrac1{ab}}=4\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng BĐT với hai số dương ta có:
`a+b>=2sqrt{ab}`
`1/a+1/b>=2/sqrt{ab}`
`=>(a+b)(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}. 2/sqrt{ab}=4`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b>0`
\((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge 4\)
\(\Leftrightarrow \dfrac1a+\dfrac1b \ge \dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{(a+b)b}{(a+b)ab}+\dfrac{(a+b)a}{(a+b)ab}\ge \dfrac{4ab}{(a+b)ab}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)b+(a+b)a \ge 4ab\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2 \ge 4ab\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2 - 4ab \ge 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2 -4ab \ge 0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0\)
Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)
