Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d

\(\Rightarrow\) Phương trình d' có dạng:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(2;2\right)\)

Phương trình đường thẳng cần tìm:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-4=0\)

câu a

đường thẳng (d') là đường thẳng cần tìm 

d' // d nên d' có dạng x-y +c = 0 với c khác 0 

lấy điểm bất kì thuộc (d) là O(0,0) lấy đối xứng O qua M ta được O' ( 4, 2) vậy O' thuộc (d')

4−2+c=0⇒c=−2⇒(d′):x−y−2=0


Câu b 

Viết pt đường thẳng (a) qua M và vuông góc với (d) 

(a) cắt (d) tại đâu ta được hình chiếu H của M

a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:

y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.

b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ 

Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)

⇒ Δ nhận  là một vtcp

⇒ Δ nhận  là một vtpt.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0

Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.

a: Phương trình tổng quát là:

3(x-1)+1(y+3)=0

=>3x-3+y+3=0

=>3x+y=0

b: vecto AB=(-1;4)

Phương trình tham số của AB là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=-3+4t\end{matrix}\right.\)

c: \(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|0\cdot3+1\cdot1\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

5:

Gọi (d): y=ax+b là phương trình cần tìm

Theo đề, ta có hệ:
3a+b=-1 và 2a+b=3

=>a=-4 và b=11

=>y=-4x+11

4:

vecto BC=(1;-1)

=>AH có VTPT là (1;-1)

Phương trình AH là:

1(x-1)+(-1)(y+3)=0

=>x-1-y-3=0

=>x-y-4=0

 Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ  = (=6; 4) là một vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của ∆ :

∆ :   

Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát:

∆ : 2x + 3y – 7 = 0

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A( - 1;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\), nên có phương trình tham số là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua \(A( - 1;5)\)

Ta có phương trình tổng quát là

 \((x + 1) - 2(y - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 11 = 0\)

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\), và đi qua điểm \(B(4; - 2)\) nên ta có phương trình tham số của \(d\) là :

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(4; - 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\(3(x - 4) - 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 16 = 0\)

c) Đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\)

d đi qua \(P(1;1)\) và có hệ số góc \(k =  - 2\) nên ta có:

\(1 =  - 2.1 + b \Rightarrow b = 3\)

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng \(y =  - 2x + 3\)

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là \(y + 2x - 3 = 0\)

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\), nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(P(1;1)\) nên ta có phương trình tham số của d là :

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

 d) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3;0)\)và \(R(0;2)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {QR}  = ( - 3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2;3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = 2t\end{array} \right.\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(2(x - 3) + 3(x - 0) =  \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\)

Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5)  <=> 3x + y + 23 = 0

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Do đó, AB có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\end{array} \right.\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {{y_2} - {y_1}; - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right)\), suy ra AB có phương trình tổng quát là:

\(\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).