Sử dụng phương pháp Delta cho bài toán này:

\(2x^2+5y^2-4\left(xy+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+\left(5y^2-11\right)=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x có tham số là y.

Ta có: \(\Delta'=\left(\dfrac{-4y}{2}\right)^2-2\left(5y^2-11\right)=-6y^2+22\ge0\)

\(\Rightarrow-\sqrt{\dfrac{22}{6}}\le y\le\sqrt{\dfrac{22}{6}}\) hay \(-1\le y\le1\)(vì y nguyên).

Với y=-1 , ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=0\), ta có \(x=\pm\sqrt{\dfrac{11}{2}}\) (loại) 

Với \(y=1\), ta có: \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy....

Ngoài phương pháp này, ta cũng có thể sử dụng 1 phương pháp khác, đó là phương pháp kẹp:

\(2x^2+5y^2-4\left(xy+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+3y^2=11\)

\(\Rightarrow3y^2\le11\Rightarrow-1\le y\le1\) (do y là số nguyên)

Đến đây ta xét các trường hợp:

Với \(y=1\), ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=-1\), ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=0\), ta có \(x=\pm\sqrt{\dfrac{11}{2}}\) (loại)

Vậy...

x² - 3y² + 2xy + 2x - 4y - 7 = 0

<=> 4.(x² - 3y² + 2xy + 2x - 4y - 7) = 0

<=> 4x² - 12y² + 8xy + 8x - 16y - 28 = 0

<=> (4x² + 8xy + 4y²) + (8x + 8y) + 4 - 16y² - 24y - 32 = 0

<=> (2x + 2y)² + 4(2x + 2y) + 4 - (16y² + 24y + 9) = 23

<=> (2x + 2y + 2)² - (4y + 3)² = 23

<=> (2x + 6y + 5)(2x - 2y - 1) = 23

Vì \(x;y\inℤ\Rightarrow2x+6y+5;2x-2y-1\inℤ\) 

Lập bảng : 

Vậy (x;y) = (3;2) ; (-9;2) 

Từ 2x² + 3y² =77.Suy ra \(0\le3y^2\le77\Rightarrow0\le y^2\le25\)kết hợp với 2x² là số chẵn => 3y² là số lẻ =>y² là số lẻ => y \(\in\){1 ;9 ; 25} 

+Với y² = 1 => 2x² = 77 - 3 = 74 <=> x² = 37 (không thỏa mãn)

+Với y² = 9 => 2x² = 77 - 27 = 50 <=> x² = 25 <=> x = 5 hoặc x = -5 

+Với y² = 25 => 2x² = 77 - 75 = 2 <=> x² = 1 <=> x = 1 hoặc x = -1 

Vậy ta có các trường hợp sau:

ta có: \(2x^2+3y^2=44+33\)

=>\(2x^2+3y^2=2.22+3.11\)

=>\(x^2=22\Rightarrow\sqrt{22}\)

và \(y=11\Rightarrow\sqrt{11}\)

đúng 100%

đúng 100%

đúng 100%

Ta có \(3y^2< 77\)

=> \(y^2\le25\)

=> \(\left|y\right|\le5\)

Thử \(\left|y\right|\) với 1,2,3,4,5 ; ta thấy chỉ có với \(\left|y\right|=5\) thì x là số nguyên

=> \(\left|x\right|=1\)

Vậy \(x\in\left\{-1;1\right\}\), \(y\in\left\{-5;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4+\left(x^2-12x+36\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)+4+\left(x-6\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)^2+\left(x-6\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-6=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=-8\end{matrix}\right.\)

\(y^2+2xy-12x+4\left(x+y\right)+2x^2+40=0\\ \Leftrightarrow\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4\right]+\left(x^2-12x+36\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y+2\right)^2+\left(x-6\right)^2=0\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y+2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(x-6\right)^2\ge0\forall x\end{matrix}\right.\) 

Nên \(\left(x+y+2\right)^2+\left(x-6\right)^2\ge0\forall x,y\)

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+2=0\\x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-8\\x=6\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 6 và y = -8

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(x^2+6x+9\right)+\left(z^2-8z+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(x+3\right)^2+\left(z-4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\x+3=0\\z-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-1\\z=4\end{matrix}\right.\)

`2xy^2 + 2x + 3y^2 = 4`

`<=> 2x(y^2 + 1) + 3(y^1 + 1) = 7`

`<=> (2x + 3)(y^2 + 1) = 7`

`=> (2x+3),(y^2 + 1) \in Ư(7) = {-7;-1;1;7}`

Mà `y^2 + 1 \ge 1` nên không thể nhận giá trị âm, xét `2` trường hợp:

`-` Trường hợp `1:`

`2x + 3 = 7 <=> 2x = 4 <=> x = 2(TM)`

`y^2 + 1 = 1 <=> y^2 = 0 <=> y = 0 (TM)`

`-` Trường hợp `2:`

`2x + 3 = 1 <=> 2x = -2 <=> x = -1 (TM)`

`y^2 + 1 = 7 <=> y^2 = 6 <=> y = +- \sqrt{6}(Loại)`

Vậy `(x;y)=(2;0)`

1) Giả sử: \(9x+5=n\left(n+1\right)\left(n\in Z\right)\)

\(36x+20-4n^2+4n\)

\(\Rightarrow36x+21=4n^2+4n+1\)

\(\Rightarrow3\left(12x+7\right)=\left(2n+1\right)^2\)

\(\left(2n+1\right)^2\)là số chính phương nên sẽ chia hết cho 3 => (2n+1)² chia hết cho 9

Lại có: 12x+7 ko chia hết cho 3 => 3(12x+7) ko chia hết cho 9

Chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x+5=n(n+1)

2) Ta có: xy + 3x - y = 6 =>x(y+3) - y = 6 

=>x(y+3) - y - 3 = 3 =>x(y+3) - (y+3) = 3

=> (y+3)(x-1) =3

Vì x, y là các số nguyên nên y+3;x-1 là các số nguyên

Ta có bảng sau:

\(xy-\left(x+2y\right)=3\)
\(xy-x-2y=3\)
\(y\left(x-2\right)-x=3\)
\(y\left(x-2\right)-x+2=3+2\)
\(y\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=5\)
\(\left(y-1\right)\left(x-2\right)=5\)
Ta có bảng sau:

Vậy các cặp \(\left(x;y\right)\) là \(\left(7;2\right);\left(3;6\right);\left(-3;0\right);\left(1;-4\right)\)

=>xy-x-2y=3

=>x(y-1)-2y+2=5

=>(x-2)(y-1)=5

=>\(\left(x-2;y-1\right)\in\left\{\left(1;5\right);\left(5;1\right);\left(-1;-5\right);\left(-5;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(3;6\right);\left(7;3\right);\left(1;-4\right);\left(-3;0\right)\right\}\)