góc ONM=góc ONH+góc MNB

=góc OHN+góc MNB

=góc NBC+góc MHB=90độ

=>MN là tiếp tuyến của (O)

Ta có : OH = OE

Suy ra tam giác OHE cân tại O

Trong tam giác BDH ta có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

ED = DB = BC/2 (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

1) Vì  là đường cao của tam giác  nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh  nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác  nội tiếp, hay  cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi  là giao điểm  và 

Gọi  là trung điểm của 

Ta thấy  là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  của tam giác  nên , do đó  cũng thuộc đường tròn đường kính 

 tam giác  cân tại 

⇒ˆTNH=ˆTHN=ˆBHK(1)⇒TNH^=THN^=BHK^(1)

Tương tự, tam giác vuông  có đường trung tuyến  nên 

 cân tại 

⇒ˆBNO=ˆOBN(2)⇒BNO^=OBN^(2)

Từ (1);(2)⇒ˆTNH+ˆBNO=ˆBHK+ˆOBN(1);(2)⇒TNH^+BNO^=BHK^+OBN^

⇒ˆTNO=ˆBHK+ˆHBK=900⇒TNO^=BHK^+HBK^=900

Do đó ON là tiếp tuyến của 

1) Vì $BN,CM$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác $BMNC$ nội tiếp, hay $B,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $BC$

Gọi $T$ là trung điểm của $AH$

Ta thấy $NT$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ của tam giác $ANH$ nên $NT=\frac{AH}{2}=r$, do đó $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$

$NT=\frac{AH}{2}$

a/ Xét \(\Delta AEH\)vuông tại E có:

          EO là đường trung tuyến ( OA=OH )

\(\Rightarrow EO=\frac{1}{2}AH=OA=OH\)( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông )

\(\Rightarrow E\)nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH

b/ Xét \(\Delta OHE\)có:

       OH=OE ( cmt )

\(\Rightarrow\Delta OHE\)cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)( tính chất tam giác cân )

Mà: \(\widehat{BHD}=\widehat{OHE}\)( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{BHD}\left(=\widehat{OHE}\right)\)(1)

Xét \(\Delta ABC\)cân tại A có:

     AD là đường cao ( gt )

\(\Rightarrow AD\)là đường trung tuyến 

\(\Rightarrow BD=CD\)

Xét \(\Delta BEC\)vuông tại E có:

    ED là đường trung tuyến ( BD=CD )

\(\Rightarrow ED=\frac{1}{2}BC=BD\)( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông )

\(\Rightarrow\Delta BDE\)cân tại D 

\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{DBH}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{OEH}+\widehat{DEH}=\widehat{BHD}+\widehat{DBH}\)

                        Hay  \(\widehat{OED}=90\)( \(\widehat{BHD}\)và \(\widehat{DBH}\)là 2 góc phụ nhau của \(\Delta BHD\)vuông tại D )

                           \(\Rightarrow DE\perp OE\)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 

a: Xét (I) có

ΔHMB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHMB vuông tại M

Xét (K) có

ΔCNH nội tiếp

HC là đường kính

Do đó; ΔCNH vuông tại N

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

nên AMHN là hình chữ nhật

b: góc IMN=góc IMH+góc NMH

=góc IHM+góc NAH

=góc HAC+góc HCA=90 độ

=>NM là tiếp tuyến của (I)

góc KNM=góc KNH+góc MNH

=góc KHN+góc MAH

=góc HBA+góc HAB=90 độ

=>MN là tiếp tuyến của (K)

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

góc EAH+góc ACB=90 độ

góc EBC+góc ACB=90 độ

=>góc EAH=góc EBC

b: AK cắt EF tại M

AK cắt BC tại N

AH cắt (O) tại K

=>HM//AB và QN//AB

=>HM//QN