Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AH^2=BH.CH=6.8=48$

$\Rightarrow AH=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ (cm)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

Chúc em học tốt

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=6\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{8^2+15^2}=17\left(cm\right)\)

BC=15+6=21(cm)

C=17+21+10=48(cm)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.BC=BH\left(BH+CH\right)\)

\(\Leftrightarrow36=BH\left(BH+6,4\right)\)

\(\Leftrightarrow BH^2+6,4BH-36=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BH=3,6\\BH=-10\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=10\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

a: HB=HC=căn 10^2-8^2=6cm

b: Xét ΔBAD có

BH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔBAD can tại B

Theo định lý Pytago 

\(AB^2+AC^2=BC^2\\ \Rightarrow AC=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A , đg cao AH

\(AB^2=BH.BC\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=\dfrac{32}{5}\left(cm\right)\\ AC^2=HC.BC\\ \Rightarrow HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=\dfrac{18}{5}\left(cm\right)\)

\(AB.AC=AH.BC\\ \Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-8^2=36\)

=>\(AC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{8^2}{10}=6.4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{6^2}{10}=3.6\left(cm\right)\\AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC ta có:

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\) 

Ta có:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\Rightarrow AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

AH=6*8/10=4,8cm