a) Xét tam giác ABC có: AB = AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A.

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI.}\)

Xét tam giác ABC cân tại A có: AI là trung tuyến (I là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Tính chất các đường trong tam giác cân).

b) Ta có: MI = BM + BI; NI = CN + CI.

Mà BM = Cn (gt); BI = CI (I là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\) MI = NI.

Xét tam giác ABC cân tại A có: AI là trung tuyến (I là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\) AI là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) \(AI\perp BC\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{AIN}=90^o.\)

Xét tam giác AIM và tam giác AIN có:

AI chung.

\(\widehat{AIM}=\widehat{AIN}\left(cmt\right).\)

MI = NI (cmt).

\(\Rightarrow\) Tam giác AIM = Tam giác AIN (c - g - c).

\(\Rightarrow\) AM = AN (2 cạnh tương ứng).

a: xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

AI chung

BI=CI

Do đó: ΔABI=ΔACI

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI là đường phân giác

b: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

\(a,Xét.\Delta ABI=\Delta ACI:\\ AB=AC\\ AI.chung\\ BI=CI\\ \rightarrow\Delta.....=\Delta....\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI};\widehat{ABI}=\widehat{ACi}\\ \rightarrow AI.là.phâ.giác.của.\widehat{BAC}\\ b,\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\left(chứng.minh.trên\right)\\ Ta.có:\) 

\(\widehat{ABM}=180^0-\widehat{ABI}\\ \widehat{ACN}=180^0-\widehat{ACI} \\ \Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\\ Xét.\Delta ABM.và.\Delta ACN.có:\\ AB=AC\\ \widehat{ABM}=\widehat{ACN}\\ BM=CN\\ \rightarrow\Delta...=\Delta...\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow AM=AN\) 

\(c,Vì.\Delta ABI=\Delta ACI\\ \rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\\ Ta.có:\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\\ \rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180}{2}=90^0\\ \rightarrow AI\perp BC\) 

Câu c sai đề mình sửa lại r đó:)

a: Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

BI=CI

AI chung

Do đó: ΔABI=ΔACI

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC

nên AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

b: Ta có: BN+NM=BM

CM+MN=CN

mà BM=CN

nên BN=CM

Xét ΔANB và ΔAMC có

AB=AC

\(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)

BN=CM

Do đó: ΔANB=ΔAMC

=>AM=AN

c: Ta có: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)

mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI\(\perp\)BC
d: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

Ta có: ΔAMN cân tại A

mà AI là đường cao

nên AI là đường trung trực của MN

lấy công thức ra 

a) Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta ACI\)có:

        AB = AC (gt)

        AI là cạnh chung

        BI = CI (I là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)(2 góc tương ứng)

      \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của góc BAC

b) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACN\)có:

         AB = AC (gt)

         \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cm a)

         BM = CN (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

=> AM = AN (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có: \(\Delta ABI=\Delta ACI\)(theo a)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AI\perp BC\)

Vậy AI và BC là hai đường thẳng vuông góc

Hình tự vé nha bạn !!!

a)  Xét tam giác vuông ABI và ACI ( ABI = 90 độ và AIC = 90 độ ) có :

AB = AC 

BI = CI ( vì I là trung điểm của BC )

Suy ra Tam giác vuông ABI = Tam giác vuông ACI ( hai cạnh góc vuông )

Suy ra góc BAI = góc CAI ( 2 góc tương ứng ) 

BAI = CAI = \(\frac{BAC}{2}\)

Suy ra AI là tia phân giác góc BAC 

Bạn làm phần a, trước đi nhé !!!

CHÚC BẠN HỌC TỐT !!