Chọn B

Phương trình (S): x² + y² + z² + 4x - 6y + m = 0 là phương trình mặt cầu <=> m < 13

Khi đó (S) có tọa độ tâm I (-2;3;0) bán kính 

Gọi M (x;y;z) là điểm bất kỳ thuộc Δ.

Tọa độ M thỏa mãn hệ: 

Đặt y = t ta có: 

=> Δ có phương trình tham số: 

Δ đi qua điểm N (-2; 0; -3) và có vectơ chỉ phương 

Giả sử mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi (C) là đường tròn lớn chứa đường thẳng Δ. Khi đó IC² = R² - AC² = 13 - m - 4² = -m - 3

N (0;-3;-3)

Vậy mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8

<=> -m - 3 = 9 <=> m = -12

a: (Δ)//d nên Δ: -x+2y+c=0

=>VTPT là (-1;2)

=>VTCP là (2;1)

PTTS là:
x=3+2t và y=1+t

b: (d): -x+2y+1=0

=>Δ: 2x+y+c=0

Thay x=4 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+8-2=0

=>c=-6

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:

\(2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0\)

Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn: 

\(2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow\) là 1 vtcp của \(\Delta\Rightarrow\) D là đáp án đúng

Gọi `M(2y-5;y) in \Delta`

Ta có: `AM=\sqrt{10}`

`<=>|\vec{AM}|=\sqrt{10}`

`<=>\sqrt{(2y-5-2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{10}`

`<=>4y^2-28y+49+y^2-2y+1=10`

`<=>[(y=4),(y=2):}`

  `=>[(M(3;4)),(M(-1;2)):}`

Gọi H là trung điểm AB

\(IH=d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|-2-2+3\right|}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow R=\sqrt{IH^2+HA^2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4}.4}=\sqrt{\dfrac{6}{5}}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\dfrac{6}{5}\)

a.

Hai đường thẳng song song khi:

\(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{-2m+3}{2-3m}\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

b.

Hai đường thẳng trùng nhau khi: \(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{-2m+3}{2-3m}\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Vậy 2 đường thẳng cắt nhau khi \(m\ne0\)

a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)

⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp

OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận  là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’

⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.

+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.

+ Trung điểm I của OO’ là 

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy O’(–2; 2).

b)

+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.

O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.

Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’, với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.

Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.

⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A ⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.

⇒ O’A nhận  là một vtcp

⇒ O’A nhận  là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A

⇒ Phương trình đường thẳng O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.

M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :

Vậy điểm M cần tìm là