Rõ ràng trong hai số a, b, c tồn tại một số chẵn (Vì nếu a, b, c đều lẻ thì a³ + b³ + c³ là số lẻ, không chia hết cho 14).

Ta lại có \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;-1\).

Do đó nếu a, b, c đều không chia hết cho 7 thì \(a^3;b^3;c^3\equiv1;-1\left(mod7\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮̸7\).

Làm tiếp: Suy ra trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 7 \(\Rightarrow abc⋮7\).

Vậy abc chia hết cho 14.

a+b+c=1; a>0; b>0; c>0

=>a>=b>=c>=0

=>a(a-c)>=b(b-c)>=0

=>a(a-b)(a-c)>=b(a-b)(b-c)

=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)>=0

mà (a-c)(b-c)*c>=0 và c(c-a)(c-b)>=0 

nên a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+(a-c)(b-c)*c>=0

=>a^3+b^3+c^3+3acb>=a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(ab+bc+ac)

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(ab+bc+ac)

mà a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

nên 2(a^3+b^3+c^3)+3acb>=a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(ĐPCM)

Ta có :

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Do \(a+b=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=1\)

Mà \(a^2=b^2=a+b\) ,ta có :

\(a+b-ab=1\)

\(\Rightarrow a+b-ab-1=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)-\left(ab-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\1-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

Thay vaò biểu thức ,có :

\(1^{2015}+1^{2015}=1+1=2\)

Có:

a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1

=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015

Mà 1007+a2015=0

=>a2015=-1007.

=>a1=1--1007

a1=1008.

Chúc học tốt^^

Có:

a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1

=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015

Mà 1007+a2015=0

=>a2015=-1007.

=>a1=1--1007

a1=1008.

Chúc học tốt^^

Có:

a1+a2=a3+a4=...=a2015+a1=1

=>a1+a2+a3+a4+...+a2014+a2015=1007+a2015

Mà 1007+a2015=0

=>a2015=-1007.

=>a1=1--1007

a1=1008.

Chúc học tốt^^

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

\(a+b+c=1\) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)

\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)'

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)

 Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b=0\), các trường hợp còn lại làm tương tự.

 Khi đó từ \(a+b+c=1\) suy ra \(c=1\) (thỏa mãn). Thế thì \(T=0^{2023}+0^{2023}+1^{2023}=1\). 

 Như vậy \(T=1\)