\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)

Do đó:

\(ab+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge ab+\dfrac{2}{ab}=\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{31}{16}.\dfrac{1}{ab}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{31}{16}.4=\dfrac{33}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Có : (a-b)^2 >= 0 

<=> a^2-2ab+b^2 >= 0

<=> a^2-2ab+b^2+2ab >= 0 + 2ab

<=> a^2+b^2 >= 2ab

Áp dụng bđt trên thì A >= \(2\sqrt{a.1}+2\sqrt{b.1}\) = \(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)>=  \(2\sqrt{2\sqrt{a}.2\sqrt{b}}\)

= \(2\sqrt{4.\sqrt{ab}}\)=  \(2\sqrt{4.1}\)=  4

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1

Tk mk nha

câu a ) chuyển vế => đpcm

câu b) nhân 2 vế vs 2 rồi chuyển vế => đpcm

câu c) chuyển vế pt đa thức thành nhân tử ( cái này lớp 8 đã pt rồi)=> đpcm

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Xảy ra khi \(a=b\)

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

==" s t nhớ là bất đẳng thức cosi dùng cho số dương nhỉ ?

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>\(a^2+b^2\ge2ab\)

b) Ta có\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(1)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)(2)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\)(3)

Cộng vế với vế ba đẳng thức (1),(2),(3) ta đc

\(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac\ge0\)

<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

<=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

Áp dụng giả thiết \(ab=1\) và bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$

Ta có đpcm.