a: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)

\(CN=DN=\dfrac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=CN=DN

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có AM=AD

nên AMND là hình thoi

b: Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

=>BN cắt MC tại trung điểm của mỗi đường

=>F là trung điểm chung của BN và MC

AMND là hình thoi

=>AN cắt MD tại trung điểm của mỗi đường

=>E là trung điểm chung của AN và MD

Xét ΔMDC có

E,F lần lượt là trung điểm của MD,MC

=>EF là đường trung bình

=>EF//DC

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

=>AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

AM=AD

=>AMND là hình thoi

b: AMND là hình thoi

=>I là trung điểm chung của AN và MD và AN vuông góc MD tại N

Xét tứ giác MBCN có

MB//CN

MB=CN

MB=BC

=>MBCN là hình thoi

=>MC vuông góc BN tại K và K là trung điểm chung của MC và BN

Xét ΔMDC có

MN là trung tuyến

MN=DC/2

=>ΔMDC vuông tại M

Xét tứ giác MINK có

góc MIN=góc MKN=góc IMK=90 độ

=>MINK là hình chữ nhật

c: Xét ΔMDC có MI/MD=MK/MC

nên IK//DC

a: Xét  tứ giác ANMD có

AN//MD

AN=MD

AN=AD

=>ANMD là hình thoi

Xét tứ giác BCMN co

BN//CM

BN=CM

BN=BC

=>BCMN là hình thoi

b: Xét ΔNCD có

NM là trung tuyến

NM=CD/2

=>ΔNCD vuông tại N

c: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCND vuông tại N có

góc ADH=góc CDN

=>ΔAHD đồng dạng với ΔCND

a: Xét tứ giác APQD có 

AP//QD

AP=QD

Do đó: APQD là hình bình hành

mà AP=AD

nên APQD là hình thoi

b: Xét tứ giác PBQD có 

PB//QD

PB=QD

Do đó: PBQD là hình bình hành

Suy ra: PD//QB và PD=QB(1)

Xét tứ giác BPQC có 

BP//QC

BP=QC

Do đó: BPQC là hình bình hành

mà BP=BC

nên BPQC là hình thoi

=>PC và QB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay K là trung điểm của BQ

=>KQ=BQ/2(2) 

Ta có: APQD là hình thoi

nên AQ và PD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của PD

=>IP=PD/2(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IP//QK và IP=QK

hay IPKQ là hình bình hành

mà \(\widehat{PIQ}=90^0\)

nên IPKQ là hình chữ nhật

a) Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)

\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)(N là trung điểm của DC)

mà AB=DC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN(AB//CD, M∈AB, N∈CD)

AM=CN(cmt)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Xét tứ giác AMND có 

AM//ND(AB//CD, M∈AB, N∈CD)

AM=ND(cmt)

Do đó: AMND là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: \(AB=2\cdot AM\)(M là trung điểm của AB)

mà \(AB=2\cdot AD\)(gt)

nên AM=AD

Hình bình hành AMND có AM=AD(cmt)

nên AMND là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

⇒Hai đường chéo AN và DM vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình thoi)

hay AN⊥DM(đpcm)

c) Ta có: AN và DM vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(cmt)

mà AN cắt DM tại E(gt)

nên E là trung điểm chung của AN và DM

Xét tứ giác BMNC có 

BM//NC(AB//CD, M∈AB, N∈CD)

BM=NC(cmt)

Do đó: BMNC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒Hai đường chéo BN và MC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà BN cắt MC tại F(gt)

nên F là trung điểm chung của MC và BN

Ta có: \(EN=\dfrac{AN}{2}\)(E là trung điểm của AN)

\(MF=\dfrac{MC}{2}\)(F là trung điểm của MC)

mà AN=MC(Hai cạnh đối trong hình bình hành AMCN)

nên EN=MF

Ta có: AN//MC(Hai cạnh đối trong hình bình hành AMCN)

mà E∈AN(cmt)

và F∈MC(cmt)

nên EN//MF

Ta có: AN⊥MD(cmt)

mà AN cắt MD tại E(gt)

nên NE⊥ME tại E

hay \(\widehat{MEN}=90^0\)

Xét tứ giác EMFN có 

EN//MF(cmt)

EN=MF(cmt)

Do đó: EMFN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành EMFN có \(\widehat{MEN}=90^0\)(cmt)

nên EMFN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒EF=MN(Hai đường chéo trong hình chữ nhật EMFN)

Bạn ơi bài này dễ mừ