- Gọi M(x₀,y₀) ,N(x₁,y₁) lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d): \(y=\left(2m-3\right)x-1\) với trục tung, trục hoành \(\Rightarrow x_0=y_1=0\).

Vì M(0;y₀) thuộc (d) nên: \(y_0=\left(2m-3\right).0-1=-1\)

\(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\) nên \(OM=1\) (đvđd)

    \(N\left(x_1;0\right)\) thuộc (d) nên: \(\left(2m-3\right)x_1-1=0\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{2m-3}\)

\(\Rightarrow N\left(\dfrac{1}{2m-3};0\right)\) nên \(ON=\dfrac{1}{2m-3}\) (đvđd)

*Hạ OH vuông góc với (d) tại H \(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Xét △OMN vuông tại O có OH là đường cao.

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{OH^2}\)

\(\Rightarrow1+\left(2m-3\right)^2=5\)

\(\Rightarrow2m-3=\pm2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

a: Thay x=2 và y=-1 vào (d), ta được:

2(m-2)+5=-1

=>2(m-2)=-6

=>m-2=-3

=>m=-1

b: (d): y=(m-2)x+5

=>(m-2)x-y-5=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\left(m-2\right)+0\left(-1\right)-5\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d))=3 thì \(\dfrac{5}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}=3\)

=>\(\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}=\dfrac{5}{3}\)

=>\(\left(m-2\right)^2+1=\dfrac{25}{9}\)

=>\(\left(m-2\right)^2=\dfrac{16}{9}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=\dfrac{4}{3}\\m-2=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{10}{3}\\m=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

a:Thay x=-2 và y=0 vào (d), ta được:

-2(m-1)+4=0

=>-2(m-1)=-4

=>m-1=2

=>m=3

b: (d): y=2x+4

a: 

b: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2\\6< >-2\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+1=2

=>m=1

c:

(d'): y=(m+1)x+6

=>(m+1)x-y+6=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d'\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+1\right)+0\cdot\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d'\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}=3\sqrt{2}\)

=>\(\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}=\sqrt{2}\)

=>\(\left(m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=1\\m+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{3m-1}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{m}{3m-1};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{m}{3m-1}\right|\)

PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=m\Leftrightarrow B\left(0;m\right)\Leftrightarrow OB=\left|m\right|\)

Kẻ \(OH\bot\left(d\right)\Rightarrow OH=\dfrac{1}{5}\)

Áp dụng HTL, ta có: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(3m-1\right)^2}{m^2}+\dfrac{1}{m^2}=25\\ \Rightarrow\dfrac{9m^2-6m+2}{m^2}=25\\ \Rightarrow25m^2=9m^2-6m+2\\ \Rightarrow8m^2+3m-1=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{2}\\m=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{2}\end{matrix}\right.\)

c: y=(m-1)x+4

=>\(\left(m-1\right)x-y+4=0\)

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+4\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d\right)\right)=2\) thì \(\dfrac{4}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=2\)

=>\(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}=2\)

=>\(\left(m-1\right)^2+1=4\)

=>\(\left(m-1\right)^2=3\)

=>\(m-1=\pm\sqrt{3}\)

=>\(m=\pm\sqrt{3}+1\)