Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AD là đường kính. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại G. GO cắt AB,AC lần lượt tại E,F. Chứng minh O là trung điểm EF.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có ^B=3^C. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D và cắt lại (O) tại M. Trên tia đối của tia MC, lấy điểm E sao cho ME=R. OE cắt AM tại S. Chứng minh S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.

Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, m_a, m_b, m_c là độ dài các đường trung tuyến của tam giác đó. Chứng minh rằng

\(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Cho tam giác ABC. Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho CD=BC/3, trên đoạn AC lấy điểm E sao cho CE=AC/6 . Dựng hình bình hành DCEF. Trên tia FB lấy điểm M sao cho FM=2FB , trên tia FC lấy điểm N sao cho FN=3FC. Chứng minh rằng F là trọng tâm của tam giác AMN.

Giả sử ta cần dựng 2 tiếp tuyến chung ngoài AB,CD của (O;R) và (O';R') và R<R'.

C₁: Lấy điểm E bất kì trên (O). Dựng đường thẳng qua O' song song với OE và cắt (O') tại F (E,F nằm cùng phía so với OO').

EF cắt OO' tại I. Dùng com-pa để vẽ hai đường tròn có đường kính lần lượt là OI và O'I, cắt (O) tại A,C và cắt (O') tại B,D.

=>AB,CD là 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O').

C₂: Vẽ đường tròn đường kính OO' và đường tròn (O';R'-R), hai đường tròn đó cắt nhau tại I. O'I kéo dài cắt (O') tại 2 điểm B,D. Dựng đường thẳng song song với O'I cắt (O) tại 2 điểm A,C.

=>.....

Giúp em với ạ

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\)

Giúp em với ạ, em cảm ơn.

Cho a,b,c là các số thực dương thoả \(a+b+c=\dfrac{2}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\(A=\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\)

Giúp với ạ.

Tìm tất cả hàm số \(f:R\backslash\left\{0,1\right\}\rightarrow R\) thoả mãn

\(f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)+f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=x+1-\dfrac{1}{x}\) , \(\forall x\in R\backslash\left\{0,1\right\}\)

Câu 3:

a) \(A=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}\) \(\left(x\ne1\right)\)

\(\Rightarrow A\left(x^2-2x+1\right)=3x^2-8x+6\)

\(\Leftrightarrow\left(3-A\right)x^2+2\left(A-4\right)x+6-A=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số A, ta có:

\(\Delta'=\left(A-4\right)^2-\left(3-A\right)\left(6-A\right)=A^2-8A+16-\left(A^2-9A+18\right)=A-2\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow A-2\ge0\Leftrightarrow A\ge2\)

Khi \(A=2\) thì \(x=2\)

Vậy \(MinA=2\Leftrightarrow x=2\)

Câu 4.2:

(Phản chứng) Giả sử không tồn tại tam giác nào có các cạnh cùng màu.

- Xét điểm A trong 17 điểm đó trên mặt phẳng. Có 16 đoạn thẳng nối từ A đến các điểm còn lại, gọi X là tập hợp 16 đoạn thẳng đó.

- Vì các đoạn thẳng được tô 3 màu: xanh, đỏ hoặc vàng, do đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ có ít nhất 6 đoạn thẳng trong X cùng tô một màu.

-Gọi B,C,D,E,F,G là các điểm trong X sao cho các đoạn BC,BD,BE,BF,BG được tô màu xanh, gọi Y là tập hợp các đoạn đó. Theo giả sử ta chỉ có thể tô các đoạn thẳng ấy bảng màu đỏ hoặc vàng. Do đó theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 3 đoạn trong Y cùng màu. Giả sử ba đoạn BC,BD,BE được tô màu đỏ. Khi đó các đoạn CD,DE,CE phải tô màu vàng (theo giả sử) => Tam giác CDE được tô màu vàng, mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử sai. Do đó ta có đpcm.