Tử, mẫu không đồng bậc

Đề sai hoặc thiếu điều kiện

tử cộng thêm c^2 bớts c^2

tách tử theo mẫu

cô si mẫu

áp dụng bất đẳng thức: 1+b²>=2b. tương tự.....

ad bđt cauchy: a/b+b/c+c/a>=3∛a/b.b/c.c/a=3

P>=\(\dfrac{2ab}{bc}\)+\(\dfrac{2bc}{ca}\)+\(\dfrac{2ca}{ab}\) =2(\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{c}\)+ \(\dfrac{c}{a}\))>=2.3=6

Pmin khi a=b=c=1

Áp dụng bđt : \(1+b^2>=2b\)

bđt cauchy : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3\sqrt[3]{}\) a\b . b\c . c\a = 3

Biểu thức này chỉ có max, không có min

Ta có: \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=2b^2+2c^2+2bc\le2b^2+2c^2+b^2+c^2=3\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow b^2+c^2\le3-a^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\).

Áp dụng bđt Schwars ta có:

\(T\ge a+b+c+\dfrac{18}{a+b+c}=\left(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{9}+\dfrac{9}{3}=9\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Bài 1:

dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .

Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)

Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)

\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf

...........

2) Ta có nhận xét sau: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM, ta có:

\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{34}{ab}+2ab\)

\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{34}{ab}+544ab-542ab\)

\(A\ge4+4+2\sqrt{\dfrac{34}{ab}.544ab}-542.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(A\ge8+272-\dfrac{271}{2}=144,5\)

GTNN của A là 144,5 khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)

                                      \(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)

                                        \(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)

Cộng 3 cái vào, ta có 

A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)

Vậy A min = 24 

Neetkun ^^

bạn tìm ra dấu= xảy ra khi nào

rất tiếc sai rồi :)) 

\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\right)\)

\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\right)\)

\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right)=30\)

\(P_{min}=30\) khi \(a=b=c\)