Mình nghĩ \(M\in(O)\) với \(M\neq K\).

a) Ta có tứ giác AKBC nội tiếp nên \(\widehat{AKB}+\widehat{ACB}=180^o\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{ACE}\). (1)

Tứ giác AMBK nội tiếp nên \(\widehat{AMK}=\widehat{ABK}\) mà \(\widehat{AMK}=\widehat{AEC}(\text{so le trong, KM//EC})\) nên \(\widehat{ABK}=\widehat{AEC}\). (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\Delta ABK\sim\Delta AEC(g.g)\).

b) Theo câu a: \(\Delta ABK\sim\Delta AEC\Rightarrow \frac{AK}{AB}=\frac{AC}{AE};\widehat{BAK}=\widehat{EAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AK}{AC};\widehat{BAE}=\widehat{KAC}\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta AKC\left(c.g.c\right)\).

c) Ta có KM // BC nên \(\Delta ABK\sim\Delta AEC\sim\Delta AMF\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AF}=\dfrac{AB}{AM}\).

Từ đây dễ suy ra \(\Delta AFK\sim\Delta AMB(c.g.c)\).

d) Tương tự mấy cái trên.

d: \(SA^2=SB\cdot SC\)

\(SE^2=SB\cdot SC\)

=>SA=SE

Xét ΔOAS và ΔOES có

OA=OE

SA=SE

OS chung

Do đó: ΔOAS=ΔOES

=>\(\widehat{OAS}=\widehat{OES}\)

mà \(\widehat{OAS}=90^0\)

nên \(\widehat{OES}=90^0\)

=>E nằm trên đường tròn đường kính SO

mà S,A,O,D cùng thuộc đường tròn đường kính SO(cmt)

nên E nằm trên đường tròn (SAOD)

a: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}\) và MB=MC

Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{BAM}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

b: Xét (O) có

\(\widehat{SAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{SAC}=\widehat{ABC}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAC và ΔSBA có

\(\widehat{SAC}=\widehat{SBA}\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC đồng dạng với ΔSBA

=>\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SC}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

c: Xét (O) có

góc CKA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và BM

=>\(\widehat{CKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BM}\right)\)

=>\(\widehat{SKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)

mà \(\widehat{SAK}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AM)

nên \(\widehat{SAK}=\widehat{SKA}\)

=>SA=SK

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác SAOD có

\(\widehat{SAO}+\widehat{SDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOD là tứ giác nội tiếp

=>S,A,D,O cùng thuộc một đường tròn

1) Ta có  △ABM vuông tại M (∠AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB)

Xét △ABM và △ABC có:

∠B chung

∠AMB=∠BAC=90 độ

Vậy △ABM ∼△ABC (g-g)

=>∠BAM=∠BCA

Mà ∠BAM=∠BEM ( Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=>∠BEM=∠BCA

Suy ra tứ giác MEFC nội tiếp ( Góc ngoài= Góc đối trong)

2) Vì △ABC vuông tại A nên AC tiếp tuyến (O)

=>∠EAC=∠ABE

Mà ∠ABE=∠AME ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

=>∠EAC=∠AME hay ∠EAK=∠AMK

Xét △AEK và △AKM có ∠K chung

∠EAK=∠AMK (cmt)

Vậy △AEK ∼△AKM(g-g)

=> KE/AK=AK/KM <=> AK²=KE.KM (đpcm)

giúp em đi ạ