\(\widehat{IHK}=\widehat{IHA}+\widehat{AHK}\)

\(=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}=90^0\)

Vì ΔABC vuông tại A

⇒ \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) (1)

Vì AH là đường cao của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{ ΔABH vuông tại H}\\\text{ ΔACH vuông tại H}\end{matrix}\right.\)

Vì I là trung điểm của AB

⇒ HI là đường trung tuyến của ΔABH

mà ΔABH vuông tại H

⇒ HI = AI = BI = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Vì IB = IH

⇒ ΔBIH cân tại I

⇒ \(\widehat{B}=\widehat{IHB}\) (2)

Vì K là trung điểm của AC

⇒ HK là đường trung tuyến của ΔACH

mà ΔACH vuông tại H

⇒ HK = AK = KC = \(\dfrac{1}{2}\)AC

Vì HK = KC

⇒ ΔKHC cân tại K

⇒ \(\widehat{KHC}=\widehat{C}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\widehat{IHB}+\widehat{KHC}=90^0\)

Ta có \(\widehat{IHB}+\widehat{IHK}+\widehat{KHC}=90^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}+90^0=180^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}=90^0\)

Vậy \(\widehat{IHK}=90^0\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà IH là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

nên IH=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có 

KA=KH

AI=HI

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: \(\widehat{KHI}=90^0\)

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H 

mà HI là đường trung tuyến

nên HI=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H 

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

IA=IH

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: \(\widehat{IHK}=90^0\)

a) Ta có: ΔAHB vuông tại H (gt)

mà HI là đường trung tuyến (gt)

nên HI=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H 

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

IA=IH

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: ˆIHK=900

b) Bạn sẽ chứng minh mỗi cạnh của tam giác IHK bằng nửa cạnh của tam giác ABC:

có I là trung điểm AB 

=> IA=IB= 1/2 AB (1)

có K là trung điểm AC 

=> KA=KC = 1/2 AC (2) 

xét tam giác ABC => IK là đường trung bình (tự cm) 

=> IK= 1/2 BC (tính chất) (3) 

Từ (1)(2)(3) => IH + HK + IK = 1/2AB+1/2AC +1/2BC 

==> Vậy cvi của tam giác IHK bằng một nửa cvi tam giác ABC 

===== 

studie.hard.today

a) Chứng minh: 

  I A H ^ = I H A ^ , H A K ^ = A H K ^ ⇒ I H A ^ + A H K ^ = 90 0 ⇒ I H K ^ = 90 0

b) Chú ý: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và sử dụng.

c) HS tự chứng minh

a) Cm. AH = DE 

Ta có: HD vuông góc với BA (gt)
          ED vuông góc với BA ( BA vuông góc với AC; E thuộc AC)
=> HD // EA

Ta lại có: DA vuông góc với AC ( BA vuông góc với AC; D thuộc AB)
              HE vuông góc với AC (gt)
=> DA // HE

Xét tứ giác DHEA, có;
* HD // EA (cmt)
* DA // HE (cmt)
=> DHEA là hình bình hành (định nghĩa)
=> DE = AH (tính chất của đường chéo) (đpcm)

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo DE, AH của hình bình hành DHEA.

Xét tam giác HEC vuông tại E, có:
* K là trung điểm của HC (gt)
=> EK = KH = KC (trung tuyến của tam giác vuông bằng 1/2 cạnh huyền)
=> DI = IH = IB ( chứng minh tương tự)

Xét tam giác DIO và tam giác HIO, có:
* DI = IH (cmt)
* IO là cạnh chung
* OD = OH (DHEA là hình bình hành)
=> tam giác DIO = tam giác HIO (c.c.c)
=> góc IHO = góc IDO ( yếu tố tương ứng)
Mà góc IHO = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc IDO = 90 độ 
=> ID vuông góc với DE (1)

Xét tam giác HOK và tam giác EOK, có:
* HO = EO (DHEA là hình bình hành)
* OK là cạnh chung
* KH = KE (cmt)
=> tam giác HOK = tam giác EOK (c.c.c)
=> góc OHK = góc OEK ( yếu tố tương ứng)
Mà góc OHK = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc OEK = 90 độ 
=> KE vuông góc với DE (2)

Từ (1), (2) => ID // KE (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE

Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = 1/2 BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ IDB cân tại I ⇒ ∠ (DIB) = 180 0  - 2. ∠ B (1)

Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC.

⇒ EK = KH = 1/2 HC (tính chất tam giác vuông) .

⇒  ∆ KHE cân tại K ⇒  ∠ (EKH) =  180 0 - 2. ∠ (KHE) (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:

HE // AD hay HE // AB ⇒  ∠ B =  ∠ (KHE) (đồng vị)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  ∠ (DIB) =  ∠ (EKH)

Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).