Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, AB=AC=a, AA'=h (a,h>0). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB',BC'
Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết A B = 2 a , A C = a , A A ' = 4 a . Gọi M là điểm thuộc cạnh AA' sao cho M A ' = 3 M A . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và C’M.
A. 6 a 7
B. 8 a 7
C. 4 a 3
D. 4 a 7
Đáp án B
Trong ABC dựng D sao cho ABCD là hình bình hành.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông ở A, AB = 2a, AC = a, AA' = 4a. M là điểm thuộc cạnh AA' sao cho MA' = 3MA . Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BC và C'M
A. d = 6 a 7
B. d = 8 a 7
C. d = 4 a 3
D. d = 4 a 7
Đáp án B
Ta có B C / / B ' C ' ⇒ B C / / M B ' C ' ⇒ d B C ; C ' M = d B ; M B ' C ' = d = 3 V B . M B ' C ' S M B ' C '
Lại có V B . M B ' C ' = V M . B B ' C ' = V A ' . B B ' C ' = 1 3 B B ' . S A ' B ' C ' = 4 a 3 3 .
Ta có M B ' = A ' B ' 2 + A ' M 2 = a 13 M C ' = A ' C ' 2 + A ' M 2 = a 10 B ' C ' = A ' B ' 2 + A ' C ' 2 = a 5
Sử dụng công thức Heron S = p p - a p - b p - c . Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p = a + b + c 2 . Ta được S M B ' C ' = 7 a 2 2 ⇒ d = 3 . 4 a 3 3 7 a 2 2 = 8 a 7 .
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông ở A, AB=2a AC=a, AA'=4a M là điểm thuộc cạnh AA' sao cho MA'=3MA . Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BC và C'M
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A B = a , A C = a 3 và BB'C'C là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC' bằng
A. a
B. a 3
C. a 3 2
D. 3 a 2 4
Gọi H là hình chiếu của A lên BC
Ta có
Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC' nên
Chọn C.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC =a 3 và BB'C'C là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC' là
A. a 3 2
B. 3 a 2 4
C. a
D. a 3
Chọn A.
Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta có
Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC' nên
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.
a) Ta có \(BB' \bot \left( {ABC} \right);BB' \subset \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = BC\)
(ABC): Kẻ \(AH \bot BC\)
\( \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\)
Xét tam giác ABC vuông cân tại A có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
b) +) Ta có \(AB \bot AC,AB \bot AA'\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right) \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right);AC' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AC' \bot AB\)
Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông.
+) Trên (ABC’) kẻ \(AK \bot BC' \Rightarrow d\left( {A,BC'} \right) = AK\)
Xét tam giác ACC’ vuông tại C có
\(A{C'^2} = A{C^2} + C{C'^2} = {a^2} + {h^2}\) (Định lí Pytago)
Xét tam giác ABC’ vuông tại A có
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{C'}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2} + {h^2}}} = \frac{{2{a^2} + {h^2}}}{{{a^2}\left( {{a^2} + {h^2}} \right)}} \Rightarrow A{K^2} = \frac{{{a^2}\left( {{a^2} + {h^2}} \right)}}{{2{a^2} + {h^2}}}\\ \Rightarrow AK = a.\sqrt {\frac{{{a^2} + {h^2}}}{{2{a^2} + {h^2}}}} \end{array}\)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a, AA' = a 2 , M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C
A . a 7
B . a 3 2
C . 2 a 5
D . a 3
Đáp án A
Gọi E là trung điểm của BB' => ME//B'C => (AME)//B'C
= d(C;(AME))
Vì
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).
Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên :
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=a, B A C ^ = 120 ∘ , cạnh bên A A ' = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB' và BC. (tham khảo hình vẽ bên)
A. 90 ∘
B. 30 ∘
C. 45 ∘
D. 60 ∘
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên A A ' = a 2 . Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Gọi N là trung điểm của BB’, ta có: CB’ // MN nên CB’ // (AMN). Như vậy
d(BC’, AM) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
(vì B, B’ đối xứng qua N ∈ (AMN)).
Hạ BH ⊥ (AMN), ta có d(B, (AMN)) = BH.
Nhận xét:
Tứ diện B.AMN có ba cạnh BA, BM, BN vuông góc nhau từng đôi một nên