a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

a: Ta có: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB

=>\(HA=HB=\dfrac{AB}{2}=2,4\left(cm\right)\)

Ta có: ΔOHA vuông tại H

=>\(OH^2+HA^2=OA^2\)

=>\(OH^2=3^2-2,4^2=3,24\)

=>\(OH=\sqrt{3,24}=1,8\left(cm\right)\)

OH+HC=OC

=>HC=OC-OH=5-1,8=3,2(cm)

b: Ta có: ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=2,4^2+3,2^2=16\)

=>\(AC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔAOC có \(AO^2+AC^2=OC^2\)

nên ΔAOC vuông tại A

=>CA\(\perp\)OA tại A

=>CA là tiếp tuyến của (O)

b: Xét ΔCAB có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAB cân tại C

=>CA=CB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

AC=BC

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

EA,ED là các tiếp tuyến

Do đó: EA=ED

Xét (O) có

FD,FB là các tiếp tuyến

Do đó: FD=FB

Chu vi tam giác CEF là:

\(CE+EF+CF\)

=CE+ED+DF+CF

=CE+EA+CF+FB

=CA+CB

=2CA

=8(cm)

a: góc AID=1/2(sđ cung AD+sđ cung CB)

=1/2(sđ cung MD+sđ cung MC)

=1/2*sđ cung CD

=góc DAI

=>ΔAID cân tại D

b: góc PAI=góc PDI(1/2sđ cung MC=1/2sđ cung CB)

=>PDAI nội tiếp

\(S\) là điểm chính giữa cung \(\widehat{AB}\)

\(\Rightarrow\widehat{SA}=\widehat{SB}\left(1\right)\)

\(\widehat{DEB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\widehat{DCB}+sd\widehat{AS}\right)\)( tính chất có đỉnh ở bên trong đường tròn ) \(\left(2\right)\)

\(\widehat{DCS}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{DAS}\) ( tính chất góc nội tiếp ) hay \(\widehat{DCS}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\widehat{DA}+sd\widehat{SA}\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{DEB}+\widehat{DCS}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\widehat{DCB}+sd\widehat{AS}+sd\widehat{DA}+sđ\widehat{SA}\right)\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(4\right)\Rightarrow\widehat{DEB}+\widehat{DCS}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\widehat{DCB}+sđ\widehat{SA}+sđ\widehat{DA}+sđ\widehat{BS}\right)=\dfrac{360^o}{2}=180^o\)

Hay \(\widehat{DEH}+\widehat{DCH}=180^o\)

Vậy: tứ giác EHCD nội tiếp được trong một đường tròn.