Lời giải:

Gọi số hạng đầu tiên là $a$ và công sai $d$. Khi đó số hạng thứ 2 và 3 lần lượt là $a+d, a+2d$

Theo bài ra ta có:

$a+(a+d)+(a+2d)=12$

$\Rightarrow a+d=4$

$a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=60$

$\Leftrightarrow 3a^2+5d^2+6ad=60$

$\Leftrightarrow 3(4-d)^2+5d^2+6(4-d)d=60$

$\Leftrightarrow 2d^2-12=0$

$\Leftrightarrow d=\pm \sqrt{6}$

Nếu $d=\sqrt{6}$ thì $a=4-\sqrt{6}$. Khi đó 3 số cần tìm là $4-\sqrt{6},4, 4+\sqrt{6}$

Nếu $d=-\sqrt{6}$ thì $a=4+\sqrt{6}$. Khi đó 3 số cần tìm là $4+\sqrt{6}, 4, 4-\sqrt{6}$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu tiên là $a$ và công sai $d$. Khi đó số hạng thứ 2 và 3 lần lượt là $a+d, a+2d$

Theo bài ra ta có:

$a+(a+d)+(a+2d)=12$

$\Rightarrow a+d=4$

$a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=66$

$\Leftrightarrow 3a^2+5d^2+6ad=66$

$\Leftrightarrow 3(4-d)^2+5d^2+6(4-d)d=66$

$\Leftrightarrow 2d^2-18=0$

$\Leftrightarrow d=\pm 3$

Nếu $d=3$ thì $a=1$. Khi đó 3 số cần tìm là $1,4, 7$

Nếu $d=-3$ thì $a=7$. Khi đó 3 số cần tìm là $7, 4, 1$

\(S_3=\dfrac{3\left[2u_1+2d\right]}{2}\)

\(\Leftrightarrow2u_1+2d=\dfrac{2S_3}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\left(u_1+d\right)=\dfrac{2S_3}{3}\)

\(\Leftrightarrow u_1+d=\dfrac{S_3}{3}=\dfrac{12}{3}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_2=4\\u_3=7\end{matrix}\right.\)

mà \(u_1^2+u_2^2+u_3^2=1^2+4^2+7^2=66\) (thỏa đề bài)

Vậy 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng là : \(1;4;7\)

Gọi ba số hạng liên tiếp lần lượt là a-n;a;a+n

Theo đề, ta có: a-n+a+a+n=27 và (a-n)(a+n)=56

=>a=9 và (9-n)(9+n)=56

=>a=9 và \(n\in\left\{5;-5\right\}\)

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì a + c = 2b.

Cách giải:

Do a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a + c = 2b.

Mà  a + b + c = 15 ⇒ 3 b = 15 ⇔ b = 5

Câu 1:

Dãy đã cho có thể viết dưới dạng công thức truy hồi sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+7n\end{matrix}\right.\)

\(u_{n+1}=u_n+7n\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{7}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{7}{2}\left(n+1\right)=u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n\)

Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)

\(\Rightarrow u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n=1\)

\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+1\)

\(\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+1=35351\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n-35350=0\)

\(\Rightarrow n=101\)

Vậy đó là số hạng thứ 101

2.

Do a;b;c lập thành 1 cấp số cộng

\(\Rightarrow a+c=2b\)

\(\Leftrightarrow2R.sinA+2R.sinC=2.2R.sinB\)

\(\Leftrightarrow sinA+sinC=2sinB\)

\(\Leftrightarrow2sin\dfrac{A+C}{2}.cos\dfrac{A-C}{2}=4sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{A-C}{2}=2sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\dfrac{A-C}{2}=2sin\dfrac{B}{2}=2cos\dfrac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)+sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)-2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right).cos\left(\dfrac{C}{2}\right)=3sin\left(\dfrac{A}{2}\right).sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow cot\left(\dfrac{A}{2}\right).cot\left(\dfrac{C}{2}\right)=3\)

3.

Công thức số hạng tổng quát của dãy đầu: \(u_n=4+3\left(n-1\right)=3n+1\)

Với \(1\le n\le100\)

Công thức số hạng tổng quát của dãy sau: \(v_m=1+5\left(m-1\right)=5m-4\)

Với \(1\le m\le100\)

Các số hạng của 2 dãy trùng nhau khi:

\(3n+1=5m-4\)

\(\Leftrightarrow5m=3n+5\Leftrightarrow m=\dfrac{3n}{5}+1\)

\(\Rightarrow n⋮5\Rightarrow n=5k\)

Mà \(1\le n\le100\Rightarrow1\le5k\le100\Rightarrow1\le k\le20\)

\(\Rightarrow\) Hai dãy số có 20 số hạng trùng nhau

Vậy số số có mặt trong 2 dãy trên là: \(100+100-20=180\) số

Chọn đáp án B